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1、2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（文科）本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟，考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。注意事项：1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上。2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用
2、涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第I卷（共60分）一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）若复数z满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位)，则z为A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i 答案：A考点：复数的运算。值得注意的是.解析：因为z(2-i)=11+7i，所以，分子分母同时乘以，得（2） 已知全集=0,1,2,3,4，集合A=1,2,3,，B=2,4 ，则（CuA）B为A 1,2,4 B 2,3,4C 0,
3、2,4 D 0,2,3,4答案：C考点：集合运算解析：。答案选C。(3)函数的定义域为（ ）A B C D 答案：B考点：求函数的定义域，对指对幂函数性质的考察。解析：函数式若有意义需满足条件： 取交集可得：。答案：B.（4）在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是 (A)众数(B)平均数(C)中位数(D)标准差答案：D考点：求样本方差、标准差解析： A样本的平均数为86，B样本的平均数为88A样本的方差为A样本的标准差为2B样本的方差为B样本的标准差为2
4、,，两者相等（5）设命题：函数的最小正周期为 ；命题q：函数 的图象关于直线 对称.则下列判断正确的是(A)p为真 (B) q为假 (C) p q为假 (D)p q 为真答案：C考点：主要考点是常用逻辑用语，三角函数的周期性和对称性，但是这个题目中对三角函数的考察是相当简单的。解析：命题：求它的周期：，很明显命题是一个假命题。 命题q：函数的图像我们是很熟悉的，它关于对称，所以命题q也是假命题。那么假命题的非是真的，两个假命题的或且都是假的。所以选C（6）设变量满足约束条件则目标函数z=3x-y的取值范围是（A）（B）（C） （D）答案：A考点：线性规划。解析：画出平面区域，阴影部分就是约束条
5、件约束的区域。而依据斜率的大小可知3x=y的大致位置。可知对于z=3x-y中z与截距有关，平移即可得到不同的截距，最值分别在和处取得。带入点即可。（8）函数的最大值与最小值之和为 (A)(B)0(C)1(D)答案：A考点：三角函数图像与性质解析:，函数定义域为0,9,所以，根据三角函数图像最大值为，最小值为，最大值与最小值之和为（9）圆与圆的位置关系为 （ ）（A）内切 （B）相交 （C）外切 （D）相离答案：B考点：圆的外置关系解析：通过求出两圆心的距离为：5，因此选B(10)函数的图像大致为答案：D考点：函数图像解析：本题为已知函数解析式，求函数图象的问题。对于判断函数图象，我们平时最常用
6、的方法是看：定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、正负性、极值点。显然此函数为奇函数，排除A选项；对于函数在区间上为负值，而函数为正值，排除B选项；通过C、D两个选项可以看出，两个选项的主要区别是在时C选项分别趋于正无穷，而我们知道在时，函数正负交替的，而函数都为正值，因此选D。(11)已知双曲线：的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为 (A) (B) (C)(D)答案：D考点：圆锥曲线的性质解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a，b，c的关系可知，此题应注意C2的焦点在y轴上，即（0，p/2）到直线的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。(12)
7、设函数，.若的图像与的图像有且仅有两个不同的公共点A（x1,y1）,B(x2,y2),则下列判断正确的是A.当a0时，x1+x20B. 当a0, y1+y20时，x1+x20, y1+y20时，x1+x20, y1+y20答案：B考点：数形结合、解三次方程（分解因式）、导数求极值解析：法一，数形结合，由图形可以猜出答案；法二，则，令因为图像有两个公共点，所以必然有一个极值为0，又，所以解得所以令可得令可得第卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。（13）如图，正方体的棱长为1，E为线段上的一点，则三棱锥的体积为_ 答案：考点：空间多面体的体积解析：求的体积，显然为定值，
8、也就是说三棱锥的地面面积与三棱锥的高都为定值，因此，我们需要找底面三角形的面积为定值，三角形的面积为（为定值），而E点到底面的高正合适为正方体的高为1（为定值），因此体积为(14)右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是20.5，26.5，样本数据的分组为，.已知样本中平均气温低于22.5的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5的城市个数为.答案：9考点：频率分布直方图解析：利用组距和频率的关系，通过比例关系可直接解决。平均气温低于22.5的频率为0.10+0.12=0.22，频数为11；不低于25.5的频率为0.18，频数=9
9、(15) 若函数在1，2上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则a.答案：考点：指数函数、一次函数性质解析：当时，有，此时，此时为减函数，不合题意.若，则，故，检验知符合题意.（16）如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1），此时圆上一点P的位置在（0,0），圆在x轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于（2,1）时，的坐标为_。答案：考点：考查转化化归能力、弧度制、诱导公式等解析：如图所示设Q（2,1）P在x轴的射影为A，Q在x轴的射影为B，过Q做PA的垂线，垂足为F则有题意可知=2弧度所以|QF|=，|PF|=，所以P另解1：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的
10、圆的参数方程为，且，则点P的坐标为，即.三、解答题：本大题共6小题，共74分。（17）在的内角所对的边分别为，已知.（）求证成等比数列；（）若求的面积.解析：（）证明：在中，由于 所以因此 又所以因此由正弦定理可得即成等比数列（）解：因为，所以由余弦定理得又因为所以故的面积(18)(本小题满分12分)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.()从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；()现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.(I)从五张卡片中任取两张的
11、所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为.(II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为.(19) (本小题满分12分)如图，几何体是四棱锥，为正三角形，.()求证：；()若，M为线段AE的中点，求证：平面.（20）(本小题满分12分)已知等差数列的前5项和为105，且.()求
12、数列的通项公式；()对任意，将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和解析（1）【求通项公式】由已知得：解得,所以通项公式为.(II)【等比数列求和】由，得，即. ，是公比为49的等比数列，.（21）（本小题满分13分）如图，椭圆M：的离心率为，直线和所围成的矩形的面积为8。（）求椭圆M的标准方程；（）设直线与椭圆M有两个不同的交点P，Q，与矩形有两个不同的交点S，T。求的最大值及取得最大值时的值。解析：（）设椭圆M的半焦距为c，由题意知所以 。因此，椭圆M的方程为。（）由 整理得，由 得 设，则 ，所以 = = （）。线段CD的方程为，线段AD的方程为(1) 不妨设点S在AD边上，T在CD边上，可知，。所以 ，因此 。令 ，则 所以 由于 ，所以 ，因此 当 即时，取得最大值，此时。（2）不妨设点S在AB边上，T在CD边上，此时。因此 ，此时 ，所以 当时，取得最大值。（3）不妨设点S在AB边上，T在BC边上， 由椭圆和矩形的对称性知 的最大值为，此时。（22）（本小题13分）.已知函数曲线在点处的切线与轴平行。考点：导数，几何意义，单调性。解：（）（） （） 因为 所以 由（） 求导得 所以 当 当所以 当又 当所以 当综上所述结论成立。
