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1、立体几何第三课用传统方法求距离和角度一、知识点1空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。兀（1）异面直线所成的角的范围是（。，。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决 具体步骤如下： 作平行四边形对边； 作三角形中位线；的最小则有（2）直线与平面所成的角的范围是，才。 求直线和平面所成的角用的是射影转化法。具体步骤如下： 找过斜线上一点与平面垂直的直线； 连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； 把该角置于三角形中计算。注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中角，即若0为线面角，a为斜
2、线与平面内任何一条直线所成的角,0 a ；（3）二面角的范围是（0,兀，作二面角的平面角常有三种方法 定义法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角; 三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足）斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角； 射影面积法：S 二S cos 0 （S为原斜面面积,S为射影面积,0为斜面与射影所成二面角的平面角） 2空间的距离求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到
3、这个平面的距离。点到平面的距离：点P到平面a的距离为点P到平面a的垂线段的长.常用求法作出点P到平面的垂线后求出垂线段的长，“一找二证三求”;等体积法锥体体积：V =丄Sh （ S为底面积，h为高）二、例题1、已知ABCD是矩形，PA丄平面ABCD , AB = 2, PA = AD = 4 , E为BC的中点.(1)求证：DE丄平面PAE ； (2)求直线DP与平面PAE所成的角.证明：在 AADE中，AD2 = AE2 + DE2, AE 丄 DE . PA 丄平面 ABCD , DEu 平面 ABCD , /. PA 丄 DE 又 PA c AE = A , . DE丄平面PAE (2)
4、 ZDPE为DP与平面PAE所成的角在 Rt A PAD , PD 二 4 二2，在 Rt ADCE 中，DE 二 2迈 在 Rt ADEP 中，PD = 2 DE , . ZDPE = 30o2、如图，在四棱锥P- ABCD中，底面ABCD是ZDAB = 6Oo且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面 ABCD (1)若G为AD的中点，求证：BG丄平面PAD ； (2)求证：AD丄PB ； (3)求二面角A 一BC 一P例题2证明:(1) AABD为等边三角形且G为AD的中点，.BG丄AD又平面PAD丄平面ABCD BG丄平面PAD (2) PAD是等边三角形且G为
5、AD的中点，AD丄PG且AD丄BG , PG cBG = G AD丄平面PBG , PBu平 面PBG , AD 丄 PB (3)由 AD 丄 PB , AD BC , /. BC 丄 PB又 BG 丄 AD , AD BC , . BG 丄 BC . ZPBG 为二面角 A 一 BC 一 P 的平面角 在 RtAPBG 中，PG = BG ,.ZPBG = 45o3、如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA = CB = CD = BD = 2, AB = AD = J2.(I)求证：AO 丄平面 BCD；(II) 求异面直线AB与CD所成角的大小；(III)求点E到平面A
6、CD的距离。A例题3(I)证明：连结 OCBO = DO, AB = AD,. AO 丄 BD. BO = DO,BC = CD,. CO 丄 BD.在 AAOC 中，由已知可得 AO = 1,CO =耳3 而 AC = 2,/. AO2 + CO2 = AC2, .ZAOC = 90。,即AO丄OC. BDp|OC = O,AO丄平面BCD (II)解：取AC的中点M,连结OM、ME、OE,由E为BC的中点知ME AB,OE DC .直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角在AOME 中，EM =丄AB = 2,OE =丄DC = i ,2 2 2OM是直角AAOC斜边AC上的
7、中线,.OM = - AC = i ,. cos ZOEM = 2,.异面直线AB与CD所成角的大小为arccos ”2244V= V,E- ACDA-CDE(III)解：设点E到平面ACD的距离为h.一 h.S= 一. AO.S3A ACD 3在 AACD 中，CA = CD = 2, AD = * 2,ACDES = 1 xAACD2v2 叫 22-(#)2 =:而AO=SACDE7 AO.Six 2h =ACDE =S衍AACD甞.点E到平面ACD的距离为、4如图已知正三棱柱ABC- AiBiCi的侧棱长和底面边长为1, M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC i上的点,且 CN=2C N
8、。1(I)求二面角Bi - AM - N的平面角的余弦值；(II)求点Bi到平面AMN的距离。例题4(1)因为M是底面BC边上的中点所以AM=BC，又AM=CCi,所以AM丄面BCCi Bi,从而3丄B严AM丄NM所以厦BiMN为二面角，BAMN的平面角。又B M= FB B2 + BM 2 =5 ,MN= JMC2 + CN2 =24 + 4 = 5,连 BN,得 BN=4 960；i + 9 =，在A B MN中，由余弦定理得B M 2 + MN 2 一 B N 2 cos BMN = t+i525 i 0+ -.55436 9 =1。故所求二面角B AMN的平面角的余弦值为?2xx551
9、52 6。(II)过Bi在面BCCiBi内作直线BiH丄MN ,H为垂足。又AM丄平面BCCi% ,所以AM丄BiH于是BiH丄平面AMN,故BiH即为Bi到平面AMN的距离。在RiABiHM中，BiH= BiMsinBiMH =字X=i。故点Bi到平面AMN的距离为 。例题 5 ：-.(I)因为N是PB的中点,PA = PB，1所以AN丄PB .因为AD丄平面PAB，所以AD丄PB ,从而PB丄平面5.如图，在四棱锥P - ABCD中，底面为直角梯形，AD /BC , /BAD二90 , PA丄底面ABCD，且0PA 二 AD 二 AB 二 2BC，M、N 分别为 PC、PB 的中点。(1)
10、求证：PB丄DM ； (2)求CD与平面ADMN所成的角。(3)求BD与平面ADMN所成的角。ADMN所成的角.在RtABGN 中,sin /BNG =竺BG10V.故CD与平面ADMN所成的角是arcsin.( 3)连结 DN，因为PB丄平面ADMN，所以ZBDN是BD与平面ADMN所成的角.在RtABDN中，sin ABDN =BNBDADMN .因为DM u平面ADMN，所以PB丄DM . (II)取AD的中点G，连结BG、NG，则BG/CD，所以BG与平面ADMN所成的角和CD与平面ADMN所成的角相等.因为PB丄平面ADMN，所以/BGN是BG与平面兀 故BD与平面ADMN所成的角是
11、一.66.如图，在长方体ABCD- ABCD中，AD = AA = 1, AB = 2,点E在线段AB上.(I)求异面直线DE与AD所 1 1 1 1 1 1 1成的角；(II)若二面角D - EC - D的大小为45。，求点B到平面DEC的距离. 11例题 6(I)连结AD。由已知，AADD是正方形，有AD丄AD。丁 AB丄平面AADD , AD是DE在平面AADD1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 内的射影。根据三垂线定理，AD丄DE得，则异面直线DE与AD所成的角为90。1 1 1 1作DF丄CE，垂足为F，连结D F，则CE丄D F所以/DFD为二面角D - EC-D的平面角，
12、/DFD = 45 .于 1 1 1 1 1是 DF = DD = 1, DF易得 Rt ABCE 仝 Rt A CDF，所以 CE = CD = 2，又 BC = 1，所以 BE = J3。设点 B 到1 1平面D EC的距离为h . v V = V ,即 丄CE - D F - h =丄丄BE - BC - DD，.1B-CED1 D- BCE 3 213 21CE-DF-h = BE-BC-DD，即2 =总h =应.114故点B到平面DEC的距离为 。7.已知多面体ABCDE中，AB丄平面ACD, DE丄平面ACD, AC = AD = CD = DE = 2a, AB = a, F为C
13、D的中点.(I)求证：AF丄平面CDE；（II）求异面直线AC, BE所成角余弦值；（III）求面ACD和面BCE所成二面角(I)TDE 丄平面 ACD, AF u 平面 ACD A DE 丄 AF。又 *ZAC=AD=C, F 为 CD 中点.AF 丄 CD,A F 丄面 CDE AAF丄平面CDE。（II）TDE丄平面ACDAB丄平面ACDF DEAB取DE中点M连结AM、CM,则四边形AMEB为平行四边形AM/BE,则ZCAM为AC与BE所成的角。在 ACM中，AC=2aAM = t AD2 + DM 2 4a2 + a2 = x/5a CM =、；CD2 + DM 2 =、：4a2 +
14、 a2 = .5a 由余弦定理得:cos ZCAM -（2a）2 + （）2匚（凤2 寻A异面直线AC、AE所成的角的余弦值为。（III）延长DA。EB交于点G,连结CG。 因为AB/DE, AB= 2DE，所以A为GD中点。又因为F为CD中点，所以CG/AF。因为AF丄平面CDE,所以CG丄平面CDE。故ZDCE为面ACD和面BCE所成二面角的平面角易求ZDCE=458.如图，四边形ABCD是正方形，PB丄平面ABCD, MA/PB, PB=AB=2MA,（I）证明：AC/平面PMD；（II）求直线BD与平面PCD所成的角的大小;（III）求平面PMD与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小。例题811(I)证明：如图 1,取 PD 的中点 E,连 EO, EMoVEO/PB, EO= - PB, MA/PB, MA= - PB,AEO/MA，且EO=MAA四边形 MAOE是平行四边形，AME/AC 。又VAC0平面PMD, MEu平面PMD, A.AC/平面 PMD。（II）如图 1, PB丄平面 ABCD, CDu平面 ABCD, ACD丄PB。又 VCD丄BC, ACD丄平面 PBCoVCDu平面PCD, A平面PBC丄平面PCD。过B
