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1、第二讲 等可能概型的概率1概率的公理化定义：若对随机试验E所对应的样本空间S中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件： (1) P(A) 0； (2) P(S)1； (3) 可列可加性：设A1，A2，, 是两两互不相容的事件，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有P()P(A1)+P(A2)+.则称P(A)为事件A的概率。2. 概率的性质（1）；（2）有限可加性：设A1，A2，An，是n个两两互不相容的事件，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , n , 则有（3）单调不减性：若事件AB，则P(B-A)=P(B)-P(A)；P(B)P(A)ABS（
2、4）差事件概率：对于任意两事件A和B， ABS且BAS（5）对于任一事件A，P(A)1（6）互补性（逆事件的概率）：对于任一事件A，有 P()=1-P(A)（7）加法公式：对任意两事件A、B，有P(AB)P(A)P(B)P(AB)该公式可推广到任意n个事件A1，A2，An的情形。例如， 3. 古典概型若某试验E满足1.有限性：样本空间Se1, e2,en;2.等可能性（公认）：P(e1)=P(e2)=P(en).则称E为古典概型，也叫等可能概型。由概率的规范性知，P(S)=nP(ei)=1，因此，P(ei)=1/n古典概型中的概率:设事件A中所含样本点个数为N(A) ，以N(S)记样本空间S中
3、样本点总数，则有例：有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等，则至少有一个男孩的概率是多少?解法1:设事件A表示“至少有一个男孩”，以H表示男孩，T表示女孩，则S=HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT，A=HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH，P(A)=解法2:设事件A表示“至少有一个男孩”，则事件表示三个孩子均为女孩；以H表示男孩，T表示女孩，则S=HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT，=TTT，P(A)=1-P()=1-4. 基本原理乘法原理：设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法，第二步有n2种方法，则完成这件
4、事共有n1n2种方法。加法原理：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。例：将n只球随机放入N(N)个盒子中去，试求每个盒子至多有一只球的概率（设盒子的数量不限）。解：设事件B表示“每个盒子之多有一只球的放法”，则式中，为从N个不同元素中取出n个元素的排列数（高中内容）。3 频率与概率概率的统计定义：把频率所稳定到的那个常数表示事件A在一次试验中发生的可能性的大小，称作概率(probability), 记为P(A) 概率性质的证明：（1）P()=P()=P()+P()+=n P()（3）由知，B=A(B-A),且A(B-A)=
5、,由概率的有限可加性得P(B) = P(A)+ P(B-A)（5）（6）且一般，对于任意n个事件A1,A2,An,有4 古典概型1. 试验的样本空间只包含有限个元素；2. 试验中每个基本事件发生的可能性相等。思考：该题中的样本空间S为什么不是HHH,TTT, HTT, THH? (非等概率)另外，当样本空间的元素较多时，我们一般不再将S中的元素一一列出，而只需分别求出S中与事件A中包含的元素个数（即基本事件的个数）即可。分析：将n只球放入N个盒子中去，每一种放法是一基本事件。易知，这是古典概型问题。因每一只都可以放入N个合资中的任意一个盒子，故共有种不同的放法，而每个盒子中最多放一只球共有种放
6、法。（课间休息）5. 放回抽样与不放回抽样例：一只口袋装有六只球，其中四只白球，两只红球。从袋中取球两次，每次随机地取一只。考虑两种取球方式：（a）第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再取一球。这种取球方式叫做放回抽样。（b）第一次取一球不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球。这种取球方式叫做不放回抽样。试分别就上面两种情况求：（1） 取到的两只球都是白球的概率；（2） 取到的两只球颜色相同的概率；（3） 取到的两只球中至少有一只是白球的概率。解：以A，B，C分别表示事件“取到的两只球都是白球”，“取到的两只球都是红球”，“取到的两只球中至少有一只是白球”。易知，“取到两只颜色相同的球
7、”这一事件即为，而。（a）放回抽样的情况P(A)=P(B)=由于，得（选讲内容）以A1，A2分别表示事件“第一次取到的是白球”，“第二次取到的是白球”，则事件为 “两次取到的球都是白球”，事件为“取到的两只球中至少有一只是白球”。，（b）不放回抽样的情况P(A)=P(B)=由于，得例：设有N件产品，其中有D件次品，今从中任取n件，问其中恰有件次品的概率是多少？解：从N件产品中抽取n件（不放回抽样），所有可能的取法共有种。从D件次品中选取件的取法共有种；从N-D件正品中选取件的取法共有种，由乘法原理知，在N件产品中抽取n件，其中恰有件次品的取法共有种，于是所求概率为例：袋中有只白球和b只红球，个
8、人依次在袋中取一只球，（1）做放回抽样；（2）做不放回抽样，求第i(i=1,2,k)人取到白球（记为事件B）的概率（k）。解：（1）放回抽样的情况，显然有（2）不放回抽样的情况。例：在12000的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？解：设A为事件“取到的整数能被6整除”，B为事件“取到的整数能被8整除”，则所求概率为由于，故得 。由于，故得。又事件AB即“取到的数既能被6整除，又能被8整除”，等价于“取到的数既能被24整除”，因此，由，得 。于是所求概率为例：某接待站在某一周内接待过12次来访，已知所有这12次来访都是在周二和周四进行的，问是否可以推断
9、接待时间是有规定的？解：假设接待站的接待时间没有规定，各来访者在一周内的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待来访者都是在周二和周四的概率为人们在长期实践中总结得到：“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”（称之为实际推断原理）。现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了，因此有理由怀疑假设的正确性，接待站不是每天都接待来访者，即认为其接待时间是有规定的。例：将15名新生随机地平均分配到三个班级中去，这15名新生中有3名是优秀生。问：（1）每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少？（2）3名优秀生分配到同一班级的概率是多少？解：将15名新生平均分配到三个班级中的分法共有种，每一种
10、分配办法为一基本事件，且每个基本事件发生的可能性相同，是古典概型问题。（1）将15名新生随机地平均分配到三个班级中去，且每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有种，于是所求概率为（2）将15名新生随机地平均分配到三个班级中去，且3名优秀生分配到同一班级的分法共有中，于是所求概率为分析：以放回抽样问题为例，试验E中样本点的总数实际上就是取两只球总共有多少中取法的问题。由于每次从袋中取球都有6中取法，共取2次，由乘法原理知，共有种取法，即样本空间中元素的总数为36。对于事件（1）而言，由于每次取球都有4只白球可供抽取，共取两次，因而共有种取法，即事件（1）中包含16个元素。对于事件（2）而言，“取到
11、的两只球要求颜色相同”，即“取到的两只球都是白球”或“取到的两只球都是红球”，显然是一个和事件问题。由于取到的两只球都是白球的概率已经计算过，因此只需计算取到的两只球都是红球的概率对于事件（3）而言，“取到的两只球中至少有一只是白球”则可以理解为是事件“第一次取到的是白球”和事件“第二次取到的是白球”的和事件。然而这两个事件又存在积事件“两次取到的球都是白球”，求解似乎比较麻烦。因此，考虑由事件（3）的逆事件概率来计算其概率，其逆事件为“取到的两只球都是红球”。该事件的概率计算在事件（2）的概率计算中已经用到，问题得解。（a）放回抽样的情况在袋中依次取两只球，每一种取法为一基本事件，显然此时样
12、本空间中仅包含有限个元素。且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同，因而属于古典概型。每次从袋中取球都有6中取法，共取2次，由乘法原理知，共有种取法，即样本空间中元素的总数为36。对于事件A，由于每次取球都有4只白球可供抽取，共取两次，因而共有种取法，即A中包含16个元素。同理，B中包含个元素。（b）放回抽样的情况第一次从袋中取球有6中取法，第二次有5种取法，共取2次，由乘法原理知，共有种取法，即样本空间中元素的总数为30。对于事件A，由于第一次取球有4只白球可供抽取，第二次则只有3只白球可供抽取，共取两次，因而共有种取法，即A中包含12个元素。同理，B中包含个元素。分析：在N件产品中抽取n件
13、（不放回抽样），由于被选中产品的排列次序对结果无影响，因此，可以作为组合问题处理。当作为组合问题处理时，所有可能的取法共有种，每一种取法为一基本事件且由于对称性知每个事件发生的可能性相同，是古典概型。将选取n件产品的过程分为两步，第一步从D件次品中选取件，第二步从N-D件正品中选取件。（对组合问题而言以上两步的次序也是可以调换的。）该问题完全符合乘法原理。（例4作为排列问题的解法见附录）不放回抽样情况的分析：k个人从+b只球中各取一只，每种取法是一个基本事件，共有种取法，且每种取法的可能性相同，是古典概型问题。假设第k个人取到的是第一只白球，则其他人的取球方法共有种，这是完成这件事的一种途径。
14、类似地，第k个人取到第二只白球的情况、取到第三只白球的情况构成完成这件事的其他途径，且共有中类似途径。由加法原理知，当事件B发生时，共有中取法。启示：在购买福利彩票时，各人得奖的概率是相同的。分析：将15名新生随机地平均分配到三个班级中去，分配过程可分为三步，第一步，第一个班级从15名学生中挑取5名；第二步，第二个班级从剩余的10名学生中挑取5名；第三步，第三个班级领取剩余的5名学生。（1）将15名新生随机地平均分配到三个班级中去，且每一个班级各分配到一名优秀生的分配过程可大致分为如下三步：第一个班级从3名优秀生中挑选1名，并从12名普通生中挑选4名；第二个班级从剩余的2名优秀生中挑选1名，并从剩余的8名普通生中挑选4名；第三个班级领取剩余的5名学生。（2）将15名新生随机地平均分配到三个班级中去，且3名优秀生分配到同一班级的分配过程可大致分为如下三步：从3个班中选择一个班作为优秀生所在的班，并从12名普通生中挑选2名组成
