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1、1 31二项式定理教学目标：知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式 过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题 情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的 结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用+教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪第一课时一、复习引入：(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = C0a2 + Ciab + C2b2 ；222(2) (a + b)3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3 = C 0
2、a 3 + C ia 2b + C 2 ab 2 + C 3b 3 +3333(a + b)4 二(a + b)(a + b)(a + b)(a + b)的各项都是4 次式，即展开式应有下面形式的各项： a4，a3b，a2b2，ab3，b4 ，展开式各项的系数:上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即Co种，a4的系数是Co ；44恰有1个取b的情况有C1种，a3b的系数是C1，恰有2个取b的情况有C2种，a2b2的系444数是C2，恰有3个取b的情况有C3种，ab3的系数是C3，有4都取b的情况有C4种，b44444的系数是C4，4(a + b)4 二 Coa4 + C 1a3b + C
3、2a2b2 + C3a3b + C4b4.44444二、讲解新课：二项式定理：(a + b)n = C0an + C1 anb + L + Cran-rbr + L + Cnbn (n G N*)nnnn(1) (a + b)n的展开式的各项都是n次式，即展开式应有下面形式的各项：an， anb，an-rbr，bn，2展开式各项的系数：每个都不取b的情况有1种，即C0种，an的系数是C0 ;nn恰有1个取b的情况有C1种，anb的系数是C1，nn恰有r个取b的情况有Cr种，an-rbr的系数是Cr, ,nn有n都取b的情况有Cn种，bn的系数是Cn,nn(a + b)n = C0an + C1
4、 anb + L + Cran-rbr + L + Cnbn (n G N* ),nnnn这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a + b)n的二项展开式，它有n +1项，各项的系数Cr (r二0,1,L n)叫二项式系数nCran-rbr叫二项展开式的通项，用T 表示，即通项T = CrQn-rbr.nr+1r+1n二项式定理中，设 a = 1,b = X,则(1+ x) n = 1 + C1 x + L + CrXr + L + Xnnn三、讲解范例：例1.展开(1+ )4 .x解一：(1+ -)4 二 1 + C1C) + C1(-)2 + C3()3 + (!)4 = 1
5、+ + + 一 + 一.x 4 x 4 x 4 x x x x2 x3 x4解二：(1+ 1)=(丄)(X + 1)=(丄)4X + C1X3 + C1X2 + C3X + 1x xx444X X 2 X3 X 4例2.展开(2“ 丄)6.X解：(2； X =)6 =(2X 1)6XX3=丄(2 x)6 C1 (2 x)5 + C 2 (2 X) C 3 (2 x)3 + C 2 (2 x)2 C1 (2 X) +1X 366666=64X3 192X2 + 240x 160 + 60 12 + 丄.X X 2 X3第二课时例3.求(x + a)12的展开式中的倒数第4项+解：(x + a)i
6、2的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，T = C9 xi29a9 = C3 x3a9 = 220x3a9.9+11212例4.求(1) (2a + 3b)6, (2) (3b + 2a)6的展开式中的第3项.解：(1)T = C2(2a)4(3b)2 二 2160a4b2，(2) T = C2(3b)4(2a)2 = 4860b4a2.2+16点评：(2a+3b)6，(3b+2a)6的展开后结果相同，但展开式中的第r项不相同+ 例5 (1)求(| + 2)9的展开式常数项；(2)求(3 + =)9的展开式的中间两项.解：T T = Cr ( )9-r ()r = Cr - 32r9
7、x2r+19 3jx93(1)当9 入r = 0,r = 6时展开式是常数项，即常数项为T二C6 33二2268；279(2) (| +丄)9的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，T = C4 389 x912 =， T = C5 3109 x59x 369第三课时例6 (1)求(1+ 2x)7的展开式的第4项的系数；(2)求(x-)9的展开式中x3的系数及二项式系数.x解：(1+ 2x)7的展开式的第四项是T二C3(2x)3二280X3 ,3+17(1+ 2x)7的展开式的第四项的系数是280 .(2)V (x 一丄)9 的展开式的通项是 T = Crx9-r (- )r =
8、(一10兀9-2 r ,xr+19x99 - 2r = 3 , r = 3 ,x3的系数(-1)3 C3 =-84 , x3的二项式系数C3二84 .99例7.求(x2 + 3x 4)4的展开式中x的系数.分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式 定理展开，然后再用一次二项式定理，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二 项式定理展开+解：(法一) (x2+3x-4)4=(x2+3x)-44=C o( x2 + 3x)4 一 C1( x2 + 3x)3 - 4 +C 2( x 2 + 3x)2 - 42 -C 3( x 2 + 3 x) - 43 + C
9、 4 - 44 ,44444显然，上式中只有第四项中含x的项，展开式中含x的项的系数是-C3 - 3 - 43 =-7684(法二)： (x2+3x-4)4=(x-1)(x+4)4=(x-1)4(x+4)4=(C o x 4一 C1 x 3 +C 2 x 2一 C 3 x + C 4)(C 0 x4 + C1 x3 4 + C 2 x 2 42 + C 3 x - 43 + C 4 44)4444444444展开式中含x的项的系数是C3 44 + C343 =-768 .44例8.已知f (x) = (1 + 2x)m +(1 + 4x(m,n e N*)的展开式中含x项的系数为36,求展开式
10、中含x2项的系数最小值+分析：展开式中含x2项的系数是关于m,n的关系式，由展开式中含x项的系数为36, 可得2m + 4n = 36，从而转化为关于m或n的二次函数求解+解：(1 + 2x)m +(1 + 4x展开式中含x的项为C1 2x+C1 4x = (2C1 +4C1)xmnm n(2Ci + 4Ci) = 36，即 m + 2n 二 18 ,mn(1 + 2x)m +(1 + 4x展开式中含x2的项的系数为t = C2 22 + C242 = 2m2 一 2m + 8n2 一 8n , mn/ m + 2n = 18 ,/. m = 18 2n ,/. t = 2(18一 2n)2
11、一 2(18一 2n) + 8n2 一 8n = 16n2 一 148n + 612=16(n2 37 n + 空),44.当n = 时,t取最小值，但n e N* ,n = 5时，t即x2项的系数最小，最小值为272，此时n = 5,m = 8 .第四课时例9.已知(/x n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列,(1)证明展开式中没有常数项；(2)求展开式中所有的有理项解：由题意：2C1 - = 1 + C2 - ( )2，即 n2 9n + 8 = 0，.: n = 8(n = 1 舍去) n 2 n 28r CrCrX 2X 4 = 一1戶7X82 r16=3r40r 816 3
12、r 若T是常数项，则=0，即16 3r = 0,r+14/ r e Z，这不可能，.展开式中没有常数项；16 3r 若T是有理项，当且仅当为整数，r+140 r & r e Z，： r = 0,4,8 ,即展开式中有三项有理项分别是：T = X4，T535=T x1X2 *256例 10.求 0.9986的近似值，使误差小于0.001.+ C6(0002)6,6解：0.9986 = (1 0.002)6 = C0 + Ci(0.002)1 + L66展开式中第三项为C20.0022 = 0.00006，小于0.001，以后各项的绝对值更小，可忽6略不计，. 0.9986 = (1 0.002)
13、6 沁 C0 + C1(0.002)1 = 0.998，66一般地当a较小时(1+ a)n沁1 + na四、课堂练习：1. 求(2a + 3bR的展开式的第3项.2. 求(3b + 2aR的展开式的第3项.3.写出(Vx 一n的展开式的第r+1项.4.求的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数.5.用二项式定理展开：(1) (a + 3b)5 ； (2)(芋一三)5.2Jxiiii6. 化简：(1) (1 + ux)5 + (l x)5 ； (2) (2x2 + 3x 一 2)4 - (2x2 - 3x 一 2)47. ( + X lg x)展开式中的第3项为106，求x.8.求 f x
14、 1Ix丿2n展开式的中间项.答案：1. T = C2(2a)6-2(3b)2 = 2160a4b2 ,2+162. T = C2(3b)6-2(2a)2 = 4860a2b4 *2+16n 一 2 rCrx 3n3. T= Cr (貢)n-r (丄r+1n23 x4.展开式的第4项的二项式系数C3 = 35，第4项的系数C323 = 280 .775.1)(a + 3b )5 = a5 + 5a43：b + 10a33b2 + 10a2b + 5ab 3 b + b 3 b2 ；2)=x2 x326.1)(1+ P x)5 + (1 x/ x)5 = 2 + 20 x +10 x2 ；2)(2 x 2 + 3x 一2)4 (2 x1 3 x - 2)4 = 192 x + 432x7.+ xlg x 力展开式中的第 3 项为 C2x3+2lg x = 106 n x3+2lg x = 105 5n 2l
