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1、第一章集合与简易逻辑一.集合：1 .集合中元素具有：确定性、无序性、互异性三种性质。2 .集合的表示法：列举法：描述法：字母表示法：图象法(数轴或Venn图)来注意以下集合的不同：yy=f是数集，表示函数产X2的值域，结果是非负实数集；川尸f是数集，表示函数y=f的定义域，结果是全体实数集；(%，y)ly=f是点集，表示抛物线y=f上的点；xax2+bx+c=0是数集，表示方程2+bx+c=0的根；3 .集合与集合的关系：任何一个集合是它本身的子集，记为A=A；空集是任何集合的子集，记为。qA；空集是任何非空集合的真子集；如果AqB,同时814,那么A=8；如果AqBBqC,那么A=C.n个元
2、素的子集有2个；个元素的真子集有2一1个；个元素的非空真子集有2tl2个.4 .集合的运算：(1)交集AnB=MxA且B;并集AUB二巾A,或xB;补集CUA=巾U,且XA,(2)集合运算中常用结论:A=B=AnB=A;ABB=B二.简易逻辑：1 .复合命题的真假判断：“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假即当q、P为真时，p且q为真；当p、q中有一个为假时，P且q为假。“p或q”形式复合命题当P与q同为假时为假，其他情况时为真即当p、q均为假时，p或q为假；当p、q中有一个为真时，P或q为真；“非P”形式复合命题的真假与P的真假相反即当P为真时，非P为假；当P为假时，非P
3、为真。2 .四种命题：记“若q则p”为原命题，则否命题为“若非P则非q，逆命题为“若q则p，逆否命题为“若非q则非p。其中互为逆否的两个命题同真假。3 .充分条件与必要条件(1)定义：当“若p则q是真命题时，p是q的充分条件，q是P的必要条件;当“若P则展的逆命题为真时，q是P的充分条件，p是q的必要条件;当“若P则q”,“若q则P”均为真时，称P是q的充要条件；(2)在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又不必要条件。从集合角度看,若记漏足条件P的所有对象组成集合A,满足条件q
4、的所有对象组成集合q,则当AqB时，p是q的充分条件;BQA时，q是P的充分条件;A=B时，p是q的充要条件；4 .全称量词：“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”等。常用表示。含有全称量词的命题叫全称命题。存在量词：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“有的”“对某个”等。常用“三”表示。含有存在量词的命题叫特称命题。全称命题p:VXM,p(x),它的否定-IPHXM,-1P(x0),特称命题:mxM,p(x0),它的否定P：VxeM,P(x)。5.注意命题的否定与命题的否命题的区别：命题“若p则q的否定是“若p则非q命题若p则q的否命题是“若非P则非q全称命题与特称命题的
5、否定具有特殊性。.不等式的解法：1 .绝对值不等式的解法:IXO)的解集是x-;|a|a(a0)的解集是小或Z-a，a。Y(X)g()0g()期a)sMJ()g()O-g()f()g()I/O)llg()。2()g()I02()g2()1/()I土Ig()K。或I/()IIg()a的解法有：(1)数形结合法：画出分段函数尸(X)=I/(x)g(x)I的图象，根据图象确定解集(2)定义法：利用定义打开绝对值，分成三个不等式进行求解。2 .一元二次不等式ax?+7+c0(。0)或or?+b+cV0(.0)的求解原理：利用二次函数的图象通过二次函数与二次不等式的联系(结合图象)从而求出任何一元二次不
6、等式的解集。3 .分式、窗次不等式的解法：标根法第二章函数一、映射、函数的有关概念：1、映射的定义：设A,B是两个集合，如果按照某种对应关系f,对集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应叫做集合A到集合B的映射，记作：f：AB,2、映射f：AB的特征：(1)存在性：集合A中任一元素在集合B中都有元素与之对应(2)惟性：集合A中的任一元素在集合B中只有一个元素与之对应，(3)方向性：从A到B的映射与从B到A的映射一般是不一样的(4)集合B中的元素在集合A中不一定有元素与之对应，若集合B中元素在集合A中有元素与之对应，则对应的元素不一定惟一。3、函数：设A,B都是
7、非空的数的集合，f：XTy是从A到B的映射，那么，从A到B的f：AB,叫做A到B的函数，y=f(x),其中xA,yB,原像集合A叫做函数f(x)的定义域，像集合C叫做函数f(x)的值域。像集合CqB4、构成函数的三要素：定义域，值域，对应法则。值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。二.函数的定义域与值域：1 .函数定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为：分母不为0;偶次根式中被开方数不小于0;对数的真数大于0,底数大于零且不等于1;零指数箱的底数不等于零；实际问题要考虑实际意义
8、等.注:求函数定义域是通过解关于自变量的不等式(组)来实现的。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。函数对应法则通常表现为表格，解析式和图象。2 .函数值域的求法：配方法(二次或四次)；换元法(代数换元法，三角换元法)：不等式法单调函数法(通过求导判断).函数的性质：(一)函数的单调性：1、定义：对于给定区间D上的函数f(x),若对于任意X1,X2ED,当X1VX2时，都有f(xi)Vf(X2)，则称f(x)是区间上的增函数，当XHX2时，都有f(x)f(X2),则称f()是区间上的减函数。如果函数y=f(x)在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f(x)在区间D上具有(严格的)单调性，区间D
9、称为函数f(x)的单调区间。格定义等价变换：任意X,X2七D,/(再)一)Oy0)n/()是增(减)函数。X1-X22、函数单调性的证明方法：法一(定义法)步骤是：任取x,X26D,且X0),并变形，/(M)判定f(Xl)-f(X2)的正负，或比较ZS与1的大小，根据定义作出结论。/3)法二(导数法)xD,(x)0=(x),r(x)vn/(X)在D上递减；*反之：/(x)在D上递增=/(x)0对xO恒成立；f(x)在D上递减=f,(x)O对X0恒成立柒求单调区间时，注意单调区间的写法,特别是有多个单调区间的,要用和字联结各区间。(二)函数的奇偶性：1.定义：对于函数f(x)的定义域内的每一个值
10、X,都有f(r)=f(x),那么称f(x)为偶函数，如果对每一个值X都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数。*定义等价变形：对于函数f(x)的定义域内的每一个值X,f(-)-f(x)=O,那么称f(x)为偶函数，如果对每一个值X都有f(-)+f(x)=O,则称f(x)为奇函数。希函数奇偶性的判断首先要看定义域是否关于原点对称。2、奇、偶函数的性质：(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。(2)奇函数在关于原点的对称区间上的单调性相同，偶函数在关于原点的对称区间上的单调性相反。(3)若奇函数有对称轴x=a,则它有周期T=4a,偶函数有对称轴x=a,则它有周期T=2a,
11、(4)若奇函数在X=O处有定义则f(0)=0(三)函数的周期性：1 .定义：对于函数f(x)的定义域内的每个值X都有f(x+T)=f(X)(T0),则称f(x)为周期函数，T为它的一个周期。若T为f(X)的周期，则kT也是f(X)的周期，k为任一非0整数。2、若f(x)满足f(x+a)=f(x+b),那么f(x)是周期函数，一个周期是T=a-b;(四)反函数：2 .同底的指数函数与对数函数互为反函数。即：y=X(0,al)与y=logqX互为反函数。3 .互为反函数的两个函数的图象关于直线y=X对称。即函数y=(x)上有点S),则点(。)在它的反函数的图象上。(五)函数的图象：1 .两个函数的
12、图象的对称性：(1) y=f(x)与y=-f(x)关于X轴对称。(2)y=f(x)与y=f(-)关于y轴对称。(3)y=f(x)与y=f(x)关于原点对称。(4)y=f(x)与y=f(2ax)关于直线x=a对称。注：y=f(a+x)与y=f(ax)关于直线x=0对称2.一个函数的图象的对称性：(1)关于直线x=a对称时，f(x)=f(2ax)或f(ax)=f(a+x),特例：a=0时，关于y轴对称，此时f(X)=f(-)为偶函数。(2)y=f(x)关于(a,b)对称时,f(x)=2bf(2ax),特别a=b=O时，f(x)=f(x),即f(x)关于原点对称，f(X)为奇函数。(3)若f(a+x
13、)=f(b-),则f(x)的图像关于直线X=”对称。23.图象平移、对称、伸缩与翻折变换。(1)J=/(x)=f(+a)；j=/()=f(-a)(2) y=(x)曾沙个侬y=f(x)+b;y=x)M个地y=/(Xi(3)y=(x)轴对称y=/(_x)；y=().y=-f(x)；j=()三三y=-(-)(4) y=G)fy=x),把y轴右边的图象保留，然后将y轴右边部分关于y轴对称。(5) y=f-y=fM把X轴上方的图象保留，X轴下方的图象关于X轴对称(6)伸缩变换：y=(x)-y=(sr),月G)一尸相人)具体参照三角函数的图象变换四.基本初等函数：(一)指数：1、n次方根的定义：如果一个数
14、的n次方a(nl,nN*)那么这个数叫做a的n次方根，即x=a,则X叫做a的n次方根(nl,nWN).2、n次方根的性质：(1)(加)”=g(nN)(2)当n为奇数时，加7=。;当n为偶数时，叱=Ialm3、分数指数塞的定义：(1)。二=犷(0,w,wN*l)-11八(2)&n=.(a0,w,n7V*,1)VF(二)指数函数：1、定义：形如y=a(a0,且aWl)的函数叫做指数函数。2、指数函数y=a(a0,且a#l)的图象和性质：al0a =YXXX/( Zf ZlxH 1 11Y = A66 -YXxxfl Xrck /lH Ii -1A - Y.V4(3) 在R上是增函数在R上是减函数三、对数1、对数的定义：如果=ba0,1）,那么b叫做以a为底N的对数，记做IogaN=b（a0,01）,由定义知负数和O没有对数。通常以10为底的对数叫做常用对数，记做IgN=IOgn）N。以无理数e=2.71828为底的对数叫做自然对数。记做InN=Ioge
