《第三章三角恒等变换导学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第三章三角恒等变换导学案（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、311两角和与差的余弦会用向量的数量积推导两角差的余弦公式，并体会向量与三角函数之间的关系； 会用余弦的差角公式余弦的和角公式，理解化归思想；能用和差角的余弦公式进 行简单的三角函数式的化简、求值、证明。重点难点余弦差角公式的推导及运用知识点二 给值求值【例2已知锐角a，p求cos p的值.且 cos a45/ 、 16 cos(a +p ) = 一77, 65知识点三 给值求角【例3 已知cos a =7，cos（a +p）=一，且a、P丘（，求P的值1.两角差的余弦公式：C ：cos（a p ）=.a p2.两角和的余弦公式：在两角差的余弦公式中，以一p替代p就得到两角和的余弦公式即:co
2、s（a p ）=cosa （p ）=y典型例题知识点一给角求值【例 1 求 sin 195。+ cos 105 的值.回顾归纳 三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换.其中角的变换是最基本的变换.常见的有 a =（ a p ）一 p ， a = p 一（ p 一 a ）， a =（2a 一 p ）一（ a 一 p ）， a =f（a +p ） + （a -p ），a =j（P +a ） - （p -a ）等.回顾归纳 （1）本题属“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题， 求一个角的值，可分以下三步进行：求角的某一三角函数值；确定角所在的
3、范围（找一个单调区间）；确定角的 值.（2）确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.如本题求p的余弦 值比求p的正弦值要好一般地，若x（0, n ），则选用y = cosx若xE （- n，丁），则选用 y = sin x.变式训练 2设 co19sin&-p丿=3,其中a e鷹变式训练3已知A、B均为钝角且sin A =10，求 A + B.求cosa +p2 回顾归纳 在利用两角和与差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把 待求的角转化成已知的特殊角（如30，45，60，90，120，150，） 之间和与差的关系问题然后利用公式化简求值.变式训练1求下列三角函数式的值.si
4、n(2)cos 15cos 105+sin 15sin 105；二_课堂小结1公式C 与C都是三角恒等式，既可正用，也可逆用要注意公式的结a - pa + p构特征.如：cos a cos p sin a sin p =cos（a p ） 2要注意充分利用已知角与未知角之间的联系，通过恰当的角的变换，创造出应用公式的条件进行求解.3注意角的拆分技巧的积累，如：(3)cos(a 45)cos(15+a )+ sin(a 45)sin(15+a ) a = (a +p ) p = (a p )+p = + 等.P135练习A2题，练习B 1,3题.自主作业:同步练习题单.3.1.2 两角和与差的正
5、弦学习冃标 能由余弦和差角公式推导出正弦和差角公式，并体会化归思想的作用；能用正弦 和差角公式进行简单的三角函数式的化简，求值。一.重点难点正弦和差角公式的推导及其应用八；问题探究1两角和与差的余弦公式Ca_p： cos(a_p)=Ca+P： cos(a+卩)=2两角和与差的正弦公式Sa+p: sin(a+卩)=Sa_p： sin(a卩)=3两角互余或互补n若a+P=，其a、卩为任意角，我们就称a、卩互余例如：；一a与互余，乡+口与互余.6回顾归纳 解答此类题一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦统一函数名 称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式变式训练 1 化简求值：(1) sin 14
6、cos 16 + sin 76cos 74；(2) sin(54 x)cos(36+x)+cos(54 x)sin(36+x)；知识点三辅助角公式的应用 【例3化简下列各式：(1)3 钉 15sin x+3、；5cos x；(2)乎sin(4x) + os(4x)4444(3)(tan 10cos 10sin 50知识点二证明三角恒等式【例 2已知 sin(2a+卩) = 3sin 卩，求证：tan(a+卩)= 2tan a.n若a+P=，其a,卩为任意角，我们就称a、卩互补例如：；+a与互补，.与3冗一a互补.4. asin x+bcos x =其中cos 0 =，sin 0 =例如：sin
7、 xcos x =Gsin xcos x =；sin x3cos x=典型例题知识点一化简求值【例 1】(1)sin 70sin 65 sin 20sin 25；回顾归纳 证明三角恒等式一般采用 “由繁到简”、 “等价转化”、 “往中间 凑”等办法，注意等式两边角的差异、函数名称的差异、结构形式的差异.sin(2a+B)sin B变式训练2 证明：2cos(a +B)=.sin asin a(2)sinn12回顾归纳 辅助角公式asin x + bcos x= %a2 + b2sin(x+申)可以把含sin x、cos x 的一次式化为Asin(x+q)的形式，其中申所在象限由点(a, b)决
8、定，大小由tanb申=确定.研究形如f(x) = asin x + bcos x的性质都要用到该公式.a变式训练 3 已知函数 f(x)=-.3cos 2x sin 2x， xW R.(1)求f(x)的最小正周期与值域；(2)求 f(x)的单调递增区间.课堂小结1.理顺公式间的逻辑关系C BaB以 - B代BC诱导公式久* Ca-B* Sa+B2注意公式的结构特征和符号规律以二B代BSa- B对于公式c B, c B可记为“同名相乘，符号反”；a- Ba+ B对于公式Sa B，Sa B可记为“异名相乘，符号同”.a- B a+ B3要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给
9、式子 与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式，注意拆角、拼角的技巧，将未知 角用已知角表示出来，使之能直接运用公式.4.运用辅助角公式asin x + bcos x = a2 + b2sin(x+申)时不必死记结论，重在理解 运用两角和与差正、余弦公式进行转化化归的思想.P138练习A 2题.练习B1、3题自主作业：同步练习题单.3.1.3两角和与差的正切学习冃标理解两角和（差）的正切公式的推导过程；利用两角和（差）的正切公式进行简单三 角函数式的化简，求值和恒等式的证明；注意两角和（差）的正切公式正、余弦公 式的联系。重点难点_切公式的推导及运用公式进行简单的三角函数式的化 简，求值和恒等
10、式的证明；公式的推导及简单应用。问题探究1两角和与差的正切公式T a+卩： tan（a+卩）=-Ta_p： tan（a卩）=-2两角和与差的正切公式的变形Ta+p的变形：tan a+tan 卩=.tan a+tan 卩+tan atan 卩tan（a + P）=.tan atan 卩=.（2）T a卩的变形：tan atan 卩=.tan atan 卩一tan atan 卩tan（a 卩）=.tan atan 卩=.一 典型例题知识点一化简求值【例1】求下列各式的值.1tan 15（1）1 +tan 15变式训练1求下列各式的值.3+tan 15(1)； tan 36 +tan 84 3tan
11、 36tan 84.1 3tan 15知识点二给值求角【例2】若a, P均为钝角，且（1一tan a）（1tan P） = 2,求a+卩.回顾归纳 此类题是给值求角题，解题步骤如下：求所求角的某一个三角函数 值，确定所求角的范围.此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论 的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解.变式训练2已知tan a, tan P是方程x2+3、*3x +4 = 0的两根，且一2a2，； n邙：，求角a+p. tan 20 +tan 40 + 込tan 20tan 40.知识点三 三角形中的问题【例 3】 已知 ABC 中，tan B+tan C + 3tan
12、Btan C = 3,且Ftan A + 3tan B =tan Atan B 1，试判断 ABC的形状.回顾归纳 公式T , T八是变形较多的两个公式，公式中有tan atan卩,tan a a+pa-p1+ tan p（或tan a - tan P）, tan（a + p）（或tan（a -卩）三者知二可表示或求出第三个.回顾归纳 三角形中的问题，A + B + C = n肯定要用，有时与诱导公式结合，有 时利用它寻找角之间的关系减少角.变式训练3 已知A、B、C为锐角三角形ABC的内角.求证：tan A+tanB+tan C = tan Atan Btan C.1.公式Tap的适用范围由
13、正切函数的定义可知a、卩、a + p（或a-卩）的终边不能落在y轴上，即不为knn+ 2(kuZ)2公式Tap的逆用 nn V3一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan =1, tan =463tan 3 八3 等要特别注意tan（： + a）1 + tan a，1 tan a(ntan 4_a1 - tan a1 + tan a3公式Tap的变形应用只要见到tan atan p , tan atan p时，有灵活应用公式Tap的意识，就不难想到 解题思路.P140练习A 1题.练习B 2题自主作业：同步练习题单.32.1倍角公式学习冃标能记住二倍角公式，会运用二倍角公式进行求值、化简和证明，同时懂得这一公 式在运用当中所起到的用途。培养观察分析问题的能力，寻找数学规律的能力， 同时注意渗透由一般到特殊的化归的数学思想及问题转化的数学思想。重点难点记住二倍角公式，运用二倍角公式进行求值、化简和证明；在运用当中如何正确 恰当运用二倍角公式j问题探究回顾归纳 解答此类题目一方面要注意角的倍数关系；另一方面要注意函数名称 的转化方法，同角三角函数关系及诱导公式是常用方法变式训练1 求值
