《因式分解学案02提取公因式法学案04(习题讲练)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《因式分解学案02提取公因式法学案04(习题讲练)（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、因式分解学案02提-取公因式法学案0(4习题讲练)【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是：(1)当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。(2)系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析】1. 把下列各式因式分解(1) 一a2xm+2+abxm+1一acxm一axm+3(2) a(ab)3+2a2(ba)22ab(ba)分析：(1)
2、若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“”号后，多项式的各项都要变号。解：a2xm+2+abxm+iacxmaxm+3，axm(ax2bx+c+x3)(2)有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n为自然数时，(a一b)2n,(b一a)2n;(a一b)2n-1,(b一a)2n-1,是在因式分解过程中常用的因式变换。解：a(ab)3+2a2(ba)22ab(ba)，a(ab)3+2a2(ab)2+2ab(ab)，a(ab)(ab)2+2a(ab)+2b，a(ab)(3a24ab+b2+2b)2. 利用提公因式法简化计算过程987987
3、987987例：计算123x+268x+456x+521x1368136813681368987分析：算式中每一项都含有，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。1368解：987原式=甌x(123+268+456+521)1368x13689873. 在多项式恒等变形中的应用2x,y3例：不解方程组，求代数式(2x+y)(2x-3y)+3x(2x+y)的值。5x-3y-2分析：不要求解方程组，我们可以把2x,y和5x-3y看成整体，它们的值分别是3和-2，观察代数式，发现每一项都含有2x,y，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x,y和5x-3y的式子,即可求出结果。解：(2x+y)(
4、2x一3y)+3x(2x+y)=(2x+y)(2x一3y+3x)=(2x+y)(5x一3y)把2x,y和5x-3y分别为3和-2带入上式，求得代数式的值是-6。4. 在代数证明题中的应用例：证明：对于任意自然数n，3n+2-2n+2+3n一2n一定是10的倍数。分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可3n,22n,2+32n3,2+32n,22n3n(32+1)2n(22+1)10X3n5X2n对任意自然数n，10X3n和5X2n都是10的倍数。3n+22n+2+3n2n一定是10的倍数5、中考点拨：例1。因式分解3x(x一2)(2-x)解：3x(x-2)-
5、(2-x)3x(x2)+(x2)(x-2)(3x+1)说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到例2.分解因式：4q(1p)3+2(P1)2解：4q(1p)3+2(p1)24q(1-p)3,2(1-p)22(1-p)22q(1-p)+12(1-p)2(2q-2pq,1)说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。题型展示：例1.计算：2000x20012001-2001x20002000精析与解答：设2000=a,则2001=a+12000x20012001-2001x20002000=a1
6、0000(a,1),(a,1)-(a,1)(10000a,a)=a(a,1)x10001-a(a,1)x10001=a(a,1)x(10001-10001)0说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。其中2000、2001重复出现，又有2001=2000+1的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转化为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算。例2.已知：x2+bx+c(b、c为整数)是x4,6x2,25及3x4,4x2,28x,5的公因式，求b、c的值。分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求b、c,但比较麻烦。注意到x2+bx+c是3
7、(x4,6x2,25)及3x4,4x2,28x,5的因式。因而也是-(3x4,4x2,28x,5)的因式，所求问题即可转化为求这个多项式的二次因式。解:x2,bx,c是3(x4,6x2,25)及3x4,4x2,28x,5的公因式也是多项式3(x4,6x2,25)-(3x4,4x2,28x,5)的二次因式而3(x4,6x2,25)(3x4,4x2,28x,5)=14(x22x,5)b、c为整数得:x2+bx+c=x2一2x+5.b=2,c=5说明：这是对原命题进行演绎推理后，转化为解多项式14x2，28x+70,从而简便求得x2+bx+c。例3.设x为整数，试判断10+5x+x(x+2)是质数还
8、是合数，请说明理由。解：10+5x+x(x+2)=5(2+x)+x(x+2)=(x+2)(5+x)x+2，5+x都是大于1的自然数(x+2)(5+x)是合数说明：在大于1的正数中，除了1和这个数本身，还能被其它正整数整除的数叫合数。只能被1和本身整除的数叫质数。【实战模拟】1. 分解因式：(1) -4m2n3+12m3n2一2mn(2) a2xn+2+abxn+1-acx一adx-1(n为正整数)(3) a(ab)3+2a2(ba)22ab(ba)22. 计算：(2)ii+(2)io的结果是()A.210oB.-210C.-2D.13. 已知x、y都是正整数，且x(x一y)一y(y一x)=12
9、，求X、y。4. 证明：817-279-913能被45整除。5.化简：1XX(1X)X(1X)2X(1X)1995,且当x=0时，求原式的值。#试题答案1.分析与解答：(1) -4m2n3+12m3n2一2mn，2mn(2mn26m2n+1)(2) a2xn+2+abxn+1一acx一adxn1，axn1(ax3+bx2一cx一d)(3) 原式，a(a一b)3+2a2(a-b)2一2ab(a一b)2，a(a一b)2(a一b)+2a一2b，a(a一b)2(3a一3b)，3a(a一b)2注意：结果多项因式要化简，同时要分解彻底。2. B3. x(xy)y(yx)，12(xy)(x+y)，12x、y是正整数.12分解成112，26，34又xy与x+y奇偶性相同，且xyx+y.Ix-y=2x+y，6说明：求不定方程的整数解，经常运用因式分解来解决。4.证明：817一279一913，328一327一326，326(931)，3265，324325，32445.817一279一913能被45整除5.解：逐次分解：原式(1+X)(1+X)+X(1+x)2+x(l+x)1995(1+x)2(1+X)+-X(1+X)1995(1+X)3(1+X)+X(1+X)4+X(1+X)1995(1+X)19960时，原式1#
