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1、圆周运动圆周运动1物体做匀速圆周运动的条件：匀速圆周运动的运动条件：做匀速圆周运动的物体所受合外力大小不变，方向总是和速度方向垂直并指向 圆心。2描述圆周运动的运动学物理量(1) 圆周运动的运动学物理量有线速度V、角速度、周期T、转速n、向心加速度a等。它们之间的关系2兀 rv 24兀 2 r大多是用半径r联系在一起的。如：V =4 r =, a = =32r =。要注意转速n的单位为r/min,TrT 260它与周期的关系为T =。nv2(2) 向心加速度的表达式中，对匀速圆周运动和非匀速圆周运动均适用的公式有：a = 32r = vW ，r4兀2 r公式中的线速度v和角速度均为瞬时值。只适
2、用于匀速圆周运动的公式有：a=，因为周期T和T2转速 n 没有瞬时值。二、匀速圆周运动的描述 1线速度、角速度、周期和频率的概念(1) 线速度v是描述质点沿圆周运动快慢的物理量，是矢量，其大小为v = S =巴;t T其方向沿轨迹切线，国际单位制中单位符号是 m/s；(2) 角速度3是描述质点绕圆心转动快慢的物理量，是矢量，其大小为3 = 9 =空；t T在国际单位制中单位符号是 rads；(3) 周期T是质点沿圆周运动一周所用时间，在国际单位制中单位符号是S；(4) 频率f是质点在单位时间内完成一个完整圆运动的次数，在国际单位制中单位符号是Hz；(5) 转速n是质点在单位时间内转过的圈数，单
3、位符号为r / s，以及r / min.2、速度、角速度、周期和频率之间的关系线速度、角速度、周期和频率各量从不同角度描述质点运动的快慢，它们之间有关系v = r 3. T = 1 f， v = 2 兀T， 3 = 2 吋。由上可知，在角速度一定时，线速度大小与半径成正比；在线速度一定时，角速度大小与 半径成反比.三、向心力和向心加速度(1)向心力是改变物体运动方向，产生向心加速度的原因(2)向心力的方向指向圆心，总与物体运动方向垂直，所以向心力只改变速度的方向 2向心加速度(1)向心加速度由向心力产生，描述线速度方向变化的快慢，是矢量(2)向心加速度方向与向心力方向恒一致，总沿半径指向圆心；
4、向心加速度的大小为a =2 r = 4 兀2 r/n rT 2公式：1线速度 V=s/t=2nr/T2角速度 =O/t=2n/T=2nf3向心加速度 a=V2/r=2r=(2n/T)2r4.向心力 F = mV2/r=m2r=mr(2n/T)2=mwv=F心合5周期与频率：T=1/f6角速度与线速度的关系：V=ar7角速度与转速的关系=2nn(此处频率与转速意义相同)8主要物理量及单位：弧长s:米(m)；角度：弧度(rad)；频率f：赫(Hz)；周期T：秒(s)；转速n： r/s；半径r：米(m)；线速度V： (m/s)；角速度：(rad/s)；向心加速度：(m/s2)。二、向心力和加速度1、
5、大小 F=m 2rV 24 兀 2向心加速度a： (1)大小：a =2r =r = 4兀2 f 2r(2)方向：总指向圆心，时rT 2刻变化 (3)物理意义：描述线速度方向改变的快慢。例题1.在图3 1中所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r, a是它边缘上 的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r,小轮的半径为2r。b点在小轮上， 到小轮中心的距离为r。c点和d点分别于小轮和大轮的边缘上。若在传动过程 中，皮带不打滑。则( )A. a点与b点的线速度大小相等B. a点与b点的角速度大小相等C. a点与c点的线速度大小相等D. a点与d点的向心加速度大小相等 解析：本题的关键是要确定出a、b、c、
6、d四点之间的等量关系。因为a、c两点在同一皮带上，所以它们的 线速度v相等；而c、b、d三点是同轴转动，所以它们的角速度3相等。所以选项C正确，选项A、B错 误。设C点的线速度大小为v,角速度为3,根据公式v=r和a=v2/r可分析出：A点的向心加速度大小为v2a =; D点的向心加速度大小为:Ara =w2 - 4r = 。所以选项D正确。选项CD正确。drr说明:在分析传动装置的各物理量时，要抓住等量和不等量之间的关系。如同轴各点的角速度相等，而线 速度与半径成正比；通过皮带传动(不考虑皮带打滑的前提下)或是齿轮传动，皮带上或与皮带连接的两 轮边缘的各点及齿轮上的各点线速度大小相等、角速度
7、与半径成反比。练习1.如图34所示的皮带转动装置，左边是主动轮，右边是一个轮轴，R : R二1:2 , Ac的角速度之比是；线速度之比是向心加速度之比图3 一42图示为某一皮带传动装置。主动轮的半径为从动轮的半径为r2。已知主 动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑。下列说法正确的是( )。A. 从动轮做顺时针转动B. 从动轮做逆时针转动rC. 从动轮的转速为亠nr2rD. 从动轮的转速为亠nr1R : R = 2:3。假设在传动过程中皮带不打滑，则皮带轮边缘上的A、B、C三点 AB3. (92)图3-7中圆弧轨道AB是在竖直平面内的1/4圆周，在B点，轨道的切线是水平 的。一质点自
8、A点从静止开始下滑，不计滑块与轨道间的摩擦和空气阻力，则在质点刚要到达B点时的加速度大小为，刚滑过B点时的加速度大小为。3.描述圆周运动的动力学物理量向心力图 3-71) 向心力来源:向心力是做匀速圆周运动的物体所受外力的合力。向心力是根据力的作用效果命名的，不是一种特殊的性质力。向心力可以是某一个性质力，也可以是某一个性质力的分力或某几个性质力 的合力。例如水平转盘上跟着匀速转动的物体由静摩擦力提供向心力；带电粒子垂直射入匀强磁场中做匀 速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力；电子绕原子核旋转由库仑力提供向心力；圆锥摆由重力和弹力的合力提供向心力。做非匀速圆周运动的物体，其向心力为沿半径方向的外力
9、的合力，而不是物体所受合外力。2) 向心力大小:根据牛顿第二定律和向心加速度公式可知，向心力大小为:v2F = m= m 2 r =其中 r 为圆运动半径。3）向心力的方向：总是沿半径指向圆心，与速度方向永远垂直。4）向心力的作用效果：只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。几种常见的匀速圆周运动的实例图表图形受力分析利用向心力公式mg tan 0 = m 2l sin 0mg tan 0 = m 2 rMg 二 mw 2 r例题2如图所示，A、B、C三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为1 ,人的质量为2m ,B、C质量均为m ,A、B离轴R,C离轴2R,则当圆台旋转时（设A、B、C都没有滑
10、动），A、B、C三者的滑 动摩擦力认为等于最大静摩擦力，下列说法正确的是（ ）A. C物的向心加速度最大；B. B物的静摩擦力最小；C. 当圆台转速增加时，C比A先滑动；D. 当圆台转速增加时，B比A先滑动。解析：当三者都相对圆盘静止时，角速度相同，所以向心加速度分别为2R、32R、322R，所以C物的向心 加速度最大，选项A正确。A、B、C三个物体随圆台转动所需要的向心力由静摩擦力提供，大小分别为：2m2R、m2R、m22R, B物体的静摩擦力最小，选项B正确。要比较哪个物体最先打滑，就要比较哪个物体与圆台间的最大静摩擦力，三者为：卩2mg、ymg、ymg,可见 C 物体先滑动，选项 C 正
11、确， B 错误说明：一定要注意做匀速圆周运动的物体受力能提供的向心力和实际运动所需要的向心力的关系，当旋转 圆转速增加时，物体随圆盘转动需要的向心力（静摩擦力提供）也要增加，当提供不足时物体就做离心运 动。练习图 3-124. 如图312所示，一转盘可绕其竖直轴在水平面内转动，转动半径为R在转台边缘 放一物块A,当转台的角速度为时，物块刚能被甩出转盘。若在物块A与转轴中心O 连线中点再放一与A完全相同的物块B （A、B均可视为质点），并用细线相连接。当转 动角速度为多大时，两物块将开始滑动?4竖直平面内圆周运动的临界问题：rmg图 3-7mg由于物体在竖直平面内做圆周运动的依托物（绳、轻杆、轨
12、道、管道等）不同，所以物体在通过最 高点时临界条件不同。如图37所示，由于绳对球只能产生沿绳收缩方向的拉力，所以小球通过最高点的临界条件是：向V 2, | 心力只由重力提供，即mg = m ，则有临界速度v =gR。只有当v .：gR时，小球才能通过 R最高点。如图 38所示，由于轻杆对球既能产生拉力，也能产生支持力，所以小球通过最高点时合外力可图 3-8以为零，即小球在最高点的最小速度可以为零。这样v = 莎就变成了小球所受弹力方向变化的临界值， 即当vv*gR时，小球受向上的弹力；当v = JgR时，球和杆之间无相互作用力；当vgR时，球受向 下的弹力。可见，物体在最高点的最小速度决定于物
13、体在最高点受的最小合外力，不同情况下的最小合外力决定了不 同情况下的最小速度。例题3. （99）如图4-4所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动，图3中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对 O 球的作用力可能是（）IA.a处为拉力，b处为拉力B.a处为拉力，b处为推力a图 4-4C.a 处为推力， b 处为拉力D.a 处为推力， b 处为推力解析：由于小球在竖直面内做圆周运动，所以当小球运动到a、b两点时，所受的合力都为指向O点。当小球运动到a点时，受到竖直向下的重力，为使其所受合力指向O点，则要求杆必对小球施竖直向上的 拉力。当小
14、球运动到b点时，小球受到竖直向下的重力mg的作用，当球的速度较小时（小于gl，l为杆的长度）,mg大于球做圆周运动所需的向心力时，杆将对球施竖直向上的推力；当小球的速度较大时（大于；gl）， mg 小于球做圆周运动所需的向心力，此时要球杆对小球放竖直向下的拉力，使重力和拉力的合力提供小球 在b点时所需要的向心力。因此小球在b点时杆对球的作用力是推力还是拉力，取决于小球在b点时的速 度大小。综上所述，本题的正确选项为A、Bo练习7. 如图3 14所示，一细圆管弯成的开口圆环，环面处于一竖直平面内。 处进入管内，并恰好能通过圆环的最高点。则下述说法正确的是（A. 球在最高点时对管的作用力为零B.
15、小球在最高点时对管的作用力为mgC. 若增大小球的初速度，则在最高点时球对管的力一定增大D. 若减小小球的初速度，则在最高点时球对管的力可能增大8. 如图3 13所示，半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体A。今给它一个水平初速度v0 = y：gR，则物体将（）A. 沿球面下滑至M点B. 沿球面下滑至某一点N,便离开球面做斜下抛运动C. 立即离开半球面做平抛运动D. 以上说法都不正确5有关圆周运动问题的分析思路 圆周运动常常和力、运动、能量问题结合在一起，综合性强。解决有关圆周运动问题的思路是：i. 确定研究对象；ii. 确定做圆运动物体的轨道平面及圆心位置；iii. 对研究对象进行受力分析；iv. 在向心加速度方向和垂直于向心加速度方向上建立直角坐标系，若需要可对物体所受力进行适当的正 交分解；v. 依据牛顿运
