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1、第43讲：用综合法求角与距离一、 课程标准1、 理解空间角的概念，理解空间内的平行与垂直关系2、掌握用传统方法求空间内异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角的常见方法二、 基础知识回顾知识梳理1. 异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：.2. 线面角平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，当一条直线垂直于平面时，规定它们所成的角是直角3. 二面角以二面角的公共直线上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于公共直线的两条射线，这两条射线所成的
2、角叫做二面角的平面角4. 点到平面的距离从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个平面的距离三、 自主热身、归纳总结1、已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为()A. B. C. D. 【答案】 B【解析】 如图，取AD的中点F，连结EF，CF.因为E为AB的中点，所以EFDB，则CEF为异面直线BD与CE所成的角在正四面体ABCD中，因为E，F分别为AB，AD的中点，所以CECF.设正四面体的棱长为2a，则EFa，CECFa.在CEF中，由余弦定理得cosCEF.2、如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D
3、1中，AA12AB2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 【答案】 D.【解析】如图，连接BC1，易证BC1AD1，则A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角连接A1C1，由AB1，AA12，易得A1C1，A1BBC1，故cosA1BC1，即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为. 故选D.3、在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为( )A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】连接A1C1，则AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角. ABBC2，A1C1AC2，又AA11，A
4、C13，sinAC1A1. 故选A.4、如图，已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC4，CC12，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为()A. B. C. D. 【答案】 C【解析】 设A1C1交B1D1于点O，连结BO.因为在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC4，所以C1OB1D1.又因为DD1平面A1B1C1D1，所以DD1C1O.因为DD1D1B1D1，DD1平面DBB1D1，D1B1平面DBB1D1，所以C1O平面DBB1D1，所以直线BC1和平面DBB1D1所成角为OBC1.在RtBOC1中，C1O2，BC12，所以sinOBC1，即直线BC1和平面DBB
5、1D1所成角的正弦值为.故选C.5、 如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长都相等，则二面角A1BCA的平面角的正切值为_【答案】 【解析】 设棱长为a，BC的中点为E，连结A1E，AE，由正三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长都相等，可得A1EBC，AEBC，故二面角A1BCA的平面角为A1EA.在RtABE中，AEa，所以tanA1EA，即二面角A1BCA的平面角的正切值为.四、 例题选讲考点一异面直线所成的角例1在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A. B. C. D. 【答案】 C【解析】 用一个与原长方体相同的长方体
6、拼到原来长方体的前面，如图所示，则B1PAD1，则DB1P是异面直线AD1，DB1所成的角连结DP，易求得DB1DP，B1P2，在B1DP中过D作B1P上的高，可得cosDB1P.变式1、如图，在底面为正方形的四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，PAAD，PAAD，则异面直线PB与AC所成的角为()A. 30 B. 45 C. 60 D. 90【答案】 C【解析】 因为平面PAD底面ABCD，PAAD，平面PAD平面ABCDAD，PA平面PAD，所以PA平面ABCD.分别过点P，D作AD，AP的平行线交于点M，连结CM，AM.因为PMAD，ADBC，PMAD，ADBC，所以四边形PBC
7、M是平行四边形，所以PBCM，所以ACM(或其补角)就是异面直线PB与AC所成的角因为四边形PADM，底面ABCD均为正方形，设PAADa，在三角形ACM中，AMa，ACa，CMa，所以三角形ACM是等边三角形，所以ACM等于60，即异面直线PB与AC所成的角为60.故选C. 方法总结：用平移法求异面直线所成的角的步骤：一作，即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；二证，即证明作出的角是异面直线所成的角；三求，解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.考点二 直线与平面所成的角例2如图，在三棱锥ABCD中，侧面ABD底面BC
8、D，BCCD，ABAD4，BC6，BD4，则直线AC与底面BCD所成角的大小为() A. 30 B. 45 C. 60 D. 90【答案】 A【解析】 因为平面ABD底面BCD，ABAD，取DB的中点O，连结AO，CO，则AOBD，则AO平面BCD，所以ACO就是直线AC与底面BCD所成的角因为BCCD，BC6，BD4，所以CO2.在RtADO中，OA2，在RtAOC中，tanACO，故直线AC与底面BCD所成角的大小为30.故选A.变式1、在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为()A. B. C. D. 【答案】 B【解析】 因为BB1DD1，所以BB1与平
9、面ACD1所成角即为DD1与平面ACD1所成角设点D到平面ACD1的距离为h，正方体的边长为a，则VD1ADCaaaa3，VDAD1Cha2h，所以a3a2h，得ha.设BB1与平面ACD1所成角为，则sin.故选B.变式2、 2019杭州模拟在三棱锥PABC中，PA底面ABC，BAC120，ABAC1，PA，则直线PA与平面PBC所成角的正弦值为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】PA底面ABC，PAAB，PAAC，即PABPAC90，又ABAC1，PAPA，PABPAC，PBPC. 取BC的中点D，连接AD，PD，PDBC，ADBC，又PDADD，BC平面PAD，BC平面PBC
10、，平面PAD平面PBC，过A作AOPD于O，易得AO平面PBC，APD就是直线PA与平面PBC所成的角. 在RtPAD 中，AD，PA，则PD，则sinAPD. 故选D.变式3、如图，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE平面ABC，ACB90，BEEFFC1，BC2，AC3.(1)求证：BF平面ACFD；(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值【证明】(1)证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示平面BCFE平面ABC，且ACBC，AC平面BCK，BFAC. 又EFBC，BEEFFC1，BC2，BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BFCK. BF平面ACFD. (2) BF平面
11、ACK，BDF是直线BD与平面ACFD所成的角在RtBFD中，BF，DF，得cosBDF，直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为.方法总结：求直线与平面所成角的关键是寻找斜线在平面上的射影，要善于根据题意寻找平面的垂线，通常方法：一、利用题设中的线线垂直关系转换为线面垂直；二、找已知平面的垂面，再利用面面垂直的性质转化为线面垂直有时作面的垂线较繁杂，可以不作面的垂线，利用空间的数量关系直接求点到面的距离，进而在直角三角中直接求线面角常见求解步骤是先作图，证明垂直关系，交代所求角，再在直角三角形中求得所求角其易错点是平面的斜线与平面所成角是锐角考点三二面角例3如图，已知在三棱锥SABC中，SAS
12、BCACB，AB2，SC，则二面角SABC的平面角的大小为()A. 30B. 45C. 60D. 90【答案】 C【解析】 取AB的中点O，连结SO，CO.由SASBCACB可得ABSO，ABCO.又SOCOO，所以AB平面SOC，所以二面角SABC的平面角是SOC.在SOA中，SO，同理CO.在SOC中，SOCOSC，所以SOC60，即二面角SABC的平面角的大小为60.变式1、如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，BAC90，ACABAA1，E是BC的中点(1) 求证：AEB1C；(2) 求异面直线AE与A1C所成的角的大小；(3) 若G为C1C的中点，求二面角CAGE的正
13、切值【解析】 (1) 因为BB1平面ABC，AE平面ABC，所以AEBB1.由ABAC，E为BC的中点，得AEBC.因为BCBB1B，BC，BB1平面BB1C1C，所以AE平面BB1C1C.又因为B1C平面BB1C1C，所以AEB1C.(2) 取B1C1的中点E1，连结A1E1，E1C，则AEA1E1，所以E1A1C是异面直线AE与A1C所成的角设ACABAA12，则由BAC90，可得A1E1AE，A1C2，E1C1ECBC，所以E1C.在E1A1C中，cosE1A1C，所以异面直线AE与A1C所成的角为.(3) 设P是AC的中点，过点P作PQAG于点Q，连结EP，EQ，则EPAC.又因为平面ABC平面ACC1A1，平面ABC平面ACC1A1AC，EP平面ABC，所以EP平面ACC1A1.因为AG平面ACC1A1，所以AGEP.又PQAG，EP，PQ平面EPQ，EPPQP，所以AG平面EPQ.又因为EQ平面EPQ，所以EQAG，所以PQE是二面角CAGE的平面角由(2)假设知EP1，AP1，RtACGRtAQP，PQ，故tanPQE，所以二面角CAGE的正切值是.变式2如图，锐二面角l的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已
