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1、时空的乐章引力波百年漫谈：单极、偶极和四极辐射撰文 卢昌海波动方程的解是物理学家们非常熟悉的，在数学上有所谓推迟解(retarded solution )和超前解(advaneed solution )之分，物理 上采用的是推迟解也称为推迟势(retarded potential)。对于弱场近似下的引力波动方程入入v = T6nG(T“一？nJ 入)(*)来说，推迟解为：%v(x, t) = 4G Jd3x (x, t |x x|)/|x x|(1)其中二tmv ?npvT是对(*)式右端所作的符号简化(这种类型的符 号简化在广义相对论中很常见，所表示的是对一个二阶张量的迹的逆 转)， x 和
2、 x 分别为场和源的三维空间坐标， d3x 是对源空间坐标的 积分,t |x x|是所谓的推迟时间(retarded time)其实是比 t 更早而不是更“推迟”的时间，因推迟解本身所描述的场晚于源 的“推迟”效应而得名。除 (1) 式 外， 由 于 (*) 式 是 线 性方 程 ， 相 应 的 齐 次 方 程(homogeneous equation ) 即源为零的方程 的解也可叠加 到推迟解上，从而得到(1)式的通解。各种特解比如平面波解、柱 面波解，或满足特定初始及边界条件的解等等皆可视为通解的特 例。对于波尤其是像电磁波和引力波这样源自基础理论的波 来说，一个很重要的性质是它的独立分量
3、数目或所谓的物理自由度 (physical degrees of freedom )。具体到引力波上，由于是对 称张量，从表观上讲有10个分量。但这10 个分量显然不是独立的， 因为总计有4个方程的谐和坐标条件= ?比可消去4个分量， 从而只剩下 6 个。这 6 个分量是独立的吗？依然不是，因为谐和坐标 条件并不足以完全确定坐标，我们还可对Xp作形如Xp - Xp +即的变 换，在这种变换下v将变换为hpv - hpv ?代一？/p。不难证明， 只要印满足入入印=0 ,谐和坐标条件就依然成立，因此这确实是谐和 坐标条件已经满足的情形下依然允许的额外坐标变换，利用这种额外 坐标变换总计也有4个方
4、程可进一步消去4个独立分量，最 终只剩下两个独立分量，这才是引力波的独立分量也称为引力波 的偏振或极化(polarization )。进一步的分析还表明，引力波的这两个独立分量和电磁波的独立 分量一样都是横波分量即都是垂直于波矢方向的分量，而且波的 振幅是“无迹”(traceless )的，即hpp= 0,使这些特征成立的坐标 也因此而被称为横向无迹坐标( transverse-traceless coordinates)， 简称 TT 坐标。可以证明，横向无迹坐标恰好是自由漂浮观测者所用的 坐标。另外值得一提的是，引力波的这两个横波分量在以波矢为轴的 空间转动下按两倍于转角的方式转动 (转动
5、方向则彼此相反) ，因而具 有螺旋度(helicity )2,人们通常所说的引力子(gravit on,即所谓 引力场的量子)是自旋 2 的无质量粒子，指的就是这一结果。不过要 注意的是,这些概念都是在闵科夫斯基度规下定义的,与我们所讨论 的弱场近似一脉相承,在一般的广义相对论中却并无明确定义,因此 将广义相对论本身笼统地视为自旋 2 的无质量场的理论是不妥的 起码是有争议的。推迟解(1)式虽是弱场近似的产物，对一般的源分布来说依然是相 当复杂的，具体计算时往往还需采取进一步的近似，其中一种典型的 近似手段是所谓的多极展开(multipole expansion )。这种手段的一 个重要优点是
6、：在源即物质分布的尺度远小于引力波的波长 (这被称为低速近似或非相对论近似 2)，并且场点离源的距离远大 于引力波的波长(这被称为远场近似 3)的情形下，多极展开由最低 阶即“极”数最少的项所主导，其他即“极”数更多 的项皆可忽略，从而能极大地降低计算的复杂性。具体地说，在多极展开下，选用横向无迹坐标，(1) 式的主导项是 所谓的“四极辐射”(quadrupole radiation )。由于横向无迹坐标 下引力波的两个独立分量即横波分量都是空间分量，因此我 们只需给出v的空间部分5即可，其结果为：hij(x, t) = (2G/r) ?2Qij/?t2(2)其中r是场点x离源的距离(在所考虑
7、的远场近似下源的尺度远小 于场点离源的距离，因此可以忽略源的不同部分与场点距离的差别)， Qij是源的四极矩，定义为：Qij二 Jd3xp(x) gx |x|25.)(3)其中p是源的质量密度。这里需要说明的是，为表述简洁起见， 我们自此处开始将略去时间变量，(2)式的右侧和(3)式，以及后文中任 何与源有关的计算，其实都是在推迟时刻 tr 计算的，这是(1)式或者 说引力波的传播速度为光速的直接要求。另外， (2)式只包含了来自物 质质量密度的贡献，这是低速近似或非相对论近似的结果。引力波多极展开中的最低阶项为四极辐射，这是一个很独特的结 果，比如跟电磁波就完全不同，因为后者具有所谓的偶极辐
8、射 (dipole radiation )。两种表面上看起来颇为相似比如万有引力定律与库仑定律都是平方反比律，波动方程更是具有相同形式的 理论在这方面为何会如此不同，引力波为何没有偶极辐射呢？这是由 守恒定律所决定的。我们知道，偶极矩的定义为Pi= Jd3x p(x) xi, 对电磁理论来说，p是电荷密度，上述偶极矩对时间的各阶导数可以是 非零的，从而可以有偶极辐射。但引力理论的情况完全不同，对它来 说P是质量密度，因而偶极矩Pi正比于源的质心位置，其对时间的一 阶导数正比于源的总动量，在所考虑的近似下是一个守恒量。这就意 味着其对时间的二阶导数这是辐射场及辐射能流所包含的导数 恒为零，这是引
9、力波不存在偶极辐射的根本原因。更一般地说，在单极、偶极和四极这几种最低阶的多极展开项中， 单极辐射出现的条件是源的总量不守恒，由于电荷和能量都是守恒的， 因此电磁理论和引力理论都没有单极辐射 4；偶极辐射出现的条件则 是源的“荷动量”(charge-momentum )不守恒，由于电磁理论的 “荷动量”确实不守恒，因此电磁理论有偶极辐射，而引力理论的 “荷动量”乃是普通的动量，是守恒的，因此引力理论没有偶极辐射 5。引力波多极展开的最低阶是四极辐射这一特点也使得引力波更为 微弱，因为在所考虑的近似条件下辐射的“极”数越多，辐射就越微 弱(感兴趣的读者可以定性地估计一下辐射强度与辐射的“极”数之
10、 间的关系)。当然，这只是使得引力辐射微弱的原因之一，而且并非 最主要的原因，最主要的原因是引力相互作用本身是目前已知的四种 基本相互作用中最弱的，比另三种相互作用强相互作用、电磁相 互作用、弱相互作用都弱几十个数量级。当然，基本相互作用之 间的这种比较是以微观世界为标准进行的，从而不能一概而论。比如 引力本身在天体尺度上就绝不微弱，而引力波虽然在普通的天体尺度 上依然微弱，却也并非总是微弱，在特殊的强引力场天体的特殊运动 中可以变得很强，甚至强到令人难以想象，这些我们在后文中将会看 到。引力波多极展开的最低阶是四极辐射还有一个微妙的“副作用”， 那就是在历史上曾使一些物理学家对引力波的存在做
11、出过错误判断。 比如继庞加莱之后引力波研究中的另一位“算不上先驱的先驱”，德 国物理学家亚伯拉罕(Max Abraham )曾于1912年提出了自己的引 力理论，并正确地意识到了引力波不存在偶极辐射(如前所述，这一 特点源自守恒定律，从而可以不依赖于广义相对论而得到)。但也许 是太看重引力波与电磁波的相似性，亚伯拉罕从不存在偶极辐射这一 特点中鲁莽地舍弃了引力波的存在(当然，由于他的引力理论是错误 的，即便没有舍弃引力波的存在，也难以得到正确的定量结果)。无 独有偶，爱因斯坦本人在研究引力波之初也曾对引力波的存在作出过 有可能是否定的判断。在1916年2月19日给德国同事施瓦西(Karl Sc
12、hwarzschild )的一封信里，爱因斯坦表示在得到了完整的广义相对 论之后，自己已用不同的方法处理了牛顿近似，得出的结论是“不存 在与光波相类似的引力波”( there are no gravitational waves analogous to light waves)。爱因斯坦的这一结论引起了一些好奇，比如爱因斯坦全集的 编者之一、美国阿肯色大学的物理学家坎尼菲克( Daniel Kennefick) 就对爱因斯坦得出这一结论的原因作了若干猜测。其中首先被猜测为 原因的就是引力波不存在偶极辐射这一特点，因为爱因斯坦在信中直 接提及了这一特点虽然并未将之称为原因。除此之外，由于爱因
13、斯坦提到了牛顿近似，坎尼菲克猜测他有可能尝试过从所谓的“后牛 顿近似”(post-Newtonian approximation)入手研究引力波。后 牛顿近似并不是研究引力波的方便手段，因为在这种近似中，以源的 运动速度确切地说是其与光速的比值v/c的幕次来排序的话， 要计算到五次项才能显示引力波的存在(五次项对应的是引力波四极 辐射带来的辐射阻尼效应)，这远远超出了早期广义相对论研究的范 围6。坎尼菲克认为，后牛顿近似中的低次项未能显示引力波的存在 也有可能是爱因斯坦认为引力波不存在的原因。坎尼菲克坎尼菲克的这些猜测不能说没有道理，但在我看来有一定的过度 解读之嫌，因为爱因斯坦所谓的“不存在
14、与光波相类似的引力波”， 从字面上看，完全有可能只是说引力波哪怕存在，也并不“与光波相 类似”（比如不存在偶极辐射），而未必是全盘否定引力波的存在 （因此我们在上文中只称之为“有可能是否定的判断”）。由于爱因 斯坦没有在其他文字中对这句话作出过进一步说明 （事实上也没有进 一步说明的必要了，因为通信对象施瓦西在不到三个月之后就不幸去 世了），他这句话的真实含义可能永远只能从猜测的意义上去解读了。 但考虑到此后不久爱因斯坦就发表了明确肯定引力波存在的论文 即我们在时空的乐章引力波百年漫谈：从早期猜测到弱场近似 中的“广义相对论的弱场近似”中提到过的他的第一篇引力波论文 “引力场方程的近似积分”，
15、我倾向于猜测“不存在与光波相类似的 引力波”并不是对引力波的全盘否定，而很可能只是对研究过程中发 现的诸如不存在偶极辐射之类有别于电磁波的引力波特性的一种表述。有关引力波的另一个微妙的问题是它是否携带能量。从前面的介 绍中我们看到，引力波是时空本身的波动因为其波幅是时空偏离 平直的程度hpv。如果说音乐是空气的波动，那么引力波不妨称之为 时空的乐章。但这个浪漫的名称掩不住一个问题，那就是时空是看不 见摸不着的，我们对它的量度依赖于度规，度规又跟坐标的选择有关， 而坐标的选择在广义相对论中却是任意的。那么，所谓时空的乐章， 所谓时空本身的波动，会不会纯粹是一种坐标带来的幻象呢？这不是 钻牛角尖，
16、而是一个很正经的问题，因为如果坐标本身在波动，那么 哪怕平直的时空也会看上去仿佛是波动着的，就好比用一把本身就在 伸缩的尺子去量一个物体，哪怕物体的长度是固定的，每次量得的结 果也可以是不同的，但那显然是尺子的问题而不是物体的长度在变。事实上，爱因斯坦本人就曾注意到，采用不同的坐标可以得到不 同类型的引力波，其中的某些类型确实只是坐标本身相对于平直时空 的波动，而不是真实的引力波。以验证广义相对论的光线偏折效应而 成名的英国物理学家爱丁顿(Arthur Eddington )也从坐标角度出发 质疑过引力波，他发现引力波的某些分量的传播速度是跟坐标的选择 有关的，从而十分可疑，他并且将这种引力波的传播速度戏称为“思 维的速度”(speed
