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1、定义1.10设随机变量X的分布函数为F(x),称g (t) = d = E(eitx) = j 8 eitxdF(x),a t 0。k l k lk,l=1若x，XX是相互独立随机变量，侧X = X + X +. + X的特征函数1 2 n 1 2 ng(t) = g (t)g (t).g (t)其中g (t)是随机变量X的特征函数,i=1,2，n.12nii(6) 随机变量的分布函数由其特征函数唯一确定。例1.2设X服从B (n, p),求X的特征函数g (t)及EX、EX2、DX。 解 X 的分布例为P( X = k) = c k p k q n k , q = 1 p, k = 0,1,
2、. n ,ng(t) = Yeitkck pkqnk = Yck(peit)k qnknnk =0k =0=(peit + q) n 。又性质知t=0 = np,EX = ig (0) = i (peit + q) n dt=npq + n 2 p 2, t=0EX 2 = (i)2 g (0) = (1)2 吐(peit + q)ndt2DX =EX2(EX)2 =npq例13 设XN (0,1),求X的特征函数g (t).s eit-亍 dx.-8.x2x2x2-由于|ixeitx - 2 | = Ixle 2，且J81 x I e 2 dx. vs ,故可对(1,2)式右端在积分号求导，
3、2兀-81 J8 ixeitx-； dx 二二 J8 eitx (de -1)8i x2= ixeltx- 2*2兀8 - .1J8 eitx-弋 dx-82 兀-8=tg(t)，于是得微分方程g(t) - tg (t)二 0分离变量方程有譬一血 两边积分的In g(t)二-2 t2 + c,2故方程通解为g (t) = e由于g(0)=1，所以c=0,于是X得特征函数为g(t) = e2例1.4随机变量X的特征函数为g (t), Y = aX + b，其中a, b为任意实数，证明Y的特征X函数 g (t)为g (t) = eitbgx(at).YY证 gY(t) = Eeit( aX +b)
4、= Eei(ta)X eitb = eitb Eei(ta)X = eitbg (at) x定义1.12设X是非负整数值随机变量,分布列p = P( X = k) , k = 0,1,k则称P(s) = d = E(sx) = p skkk=0为 X 的母函数。母函数有以下性质：(1) 非负整数随机变量的分布列有其母函数唯一确定(2) 设P是X的母函数，若EX存在，则EX=P (1),若 DX 存在，贝IDX= P(1)+ P(1)- P(1) 2 .3) 独立随机变量只和的母函数等于母函数之积.(4) 若X , X ,是相互独立且同分布的非负整数值随机变量，N是与X , X，独立1 2 1
5、2的非负整数随机变量，则Y二迓X的母函数H(S)二G(P(s)，其中G (s)、P (s) kk=1分别是 N、X 的母函数。1例16设商场在一天的顾客数N服从参数九=1000的泊松分布，又设每位顾客所花费的钱X服从N (100,502)，求商店的日销售额Z的平均值。i解 由条件可知 EN = 1000， EX = 100 ,故由( 1.6)式EZ = EN EX = 1000x 100 = 100000 (元)1例17 设商场一天内的顾客到达人数N是参数为九的泊松随机变量，每个顾客在 该商场的消费是相互独立的。其消费金额(元)都服从0,a上的均匀分布，求商场 一天平均营业额。解：记X为商场一
6、天的营业额，Y为第i个顾客在商场的消费金额i = 1,2,., N，则iX仝Y。ii=1九kP( N = k)=e-九,k = 0,1,2,.,k!1EY = a, i = 1,2,.Ni2由(1.8)式 EX =另E(X I N = k)P(N = k)k=0=艺 E (E Y |N = k)P(N = k)ik = o i =1=E E (Ey ) P (N = k)ik = oi =1=E k EY P (N = k)1k=o=EYk P (N = k)1=EY EN = a九(元)1 2第二章例 2.5 设随机过程X (t) = Ycos(0t) + Zsin(0t),t0,其中,Y、
7、Z是相互独立的随机变量，且EY = EZ = 0, DY = DZ2，求x (t), t0的均值函数m (t)和协方差函数B(s，t).XX解 由数学期望的性质EX (t)二 EY cos(6t) + Z sin(6t)二 cos)EY + sin)EZ 二 0因为Y与Z相互独立，故B (s, t)二 R (s, t)二 EX (s)X (t)Xx=EY cos(0s) + Z sin(0s )Y cos) + Z sin)=cos(0s) cos(0t) E (Y 2) + sin(0s) sin(0t) E (Z 2)=c 2cos(t - s )0 .定义2.4设X(t),t e T,Y
8、(t),t e T是两个二阶矩过程，侧称B (s,t)二二 d 二二 E(X(s) - m (s)(Y(t) - m (t),s, t e TXYXY为X(t),t e T与Y(t),t e T的互协方差函数，称R (s.t)二二 d 二二 EX (s) Y(t)XY为X(t),t e T与Y(t),t e T的互相关函数.如果对任意s, t e T ,有B (s,t)二0,则称X(t),t e T与Y(t),t e T互不相XY关.显然有 R (s.t)二 R (s, t) - m (s)m (t).XYXYXY例2.8设X(t)为信号过程,Y(t)为噪声过程.令W(t)二X(t) + Y(t),则W (t)的均值函数为 m (t) = m (t) + m (t),WXY其相关函数为R( s, t)二 E x ( s ) + y ( s ) x (t ) + y (t )=E X (s) X (T) + E X (s )Y (T) + EY (s) X (T) + EY (s )Y (T)二 R (s, T) + R (s, T) + R(s, T) + R (s, T)XXYYXY
