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1、3-7 非谐效应：热膨胀简谐近似的方法是认为原子振动位移很小，故势能展开式中只保留二次项，忽略 三次方及以上的各非谐项，并用一系列独立的谐振子来描述晶格振动。这种简谐理论， 数学处理简单，可以成功地解释晶格比热等物理问题，却不能解释晶体热膨胀问题。按 简谐近似，原子间相互作用能在平衡位置附近是对称的(如图3-7-1 中的虚线所示)，随 着温度升高，原子的总能量增高，但原子间的距离的平均值不会增大，因此，简谐近似 不能解释热膨胀现象。若计入非简谐效应，即考虑原子间的相互作用势能的3 次方以上 的项，则势能曲线在平衡位置附近将不再对称(如图3-7-1 中的实线所示)，当温度升高， 总能量增大时，原
2、子间的平均距离将会增大，从而引起热膨胀现象。3. 7. 2 晶体的热胀系数为简单起见，只考虑非谐项对一维晶体中某两个原子平均距离的影响。设晶体中的原子1固定在原点，原子2的平衡位置为r , 代表B原子离开平衡位置的位移。两原0子之间的相互作用势能在r处附近作泰勒级数展开，得：0QU 1 d 2U1 Q 3U.U(r + 5) = U(r ) + () 8 + () 52 + () 83 + (3-7-1)0 or r02! or2 r03! or3 r0au这里有，()=0，U(r )对晶格动力学问题无影响，可取U(r )=0。若令or r000-(竺)=K ,丄竺)=g2! Sr2 r.3!
3、 Sr3 气 6贝ij有：U(r + 8) = K82 _ g830在简谐近似下，势能展开式中只保留到二次项，即3-7-2)U(r +8)二 K820由图 3-7-1可看出，图中虚线是简谐近似下的势能曲线，是对称的。在任何温度下原子围绕其平衡位置作对称简谐振动，温度低时，振幅小，温度高时，振幅大。但其平3-7-3)衡位置仍在r0，所以无热膨胀，显然与实际不符。也可用数学方法计算位移5的平均值8。 按玻尔兹曼统计，平均位移可写为：(_ U kT丿B ;_ Uk T丿BJ+88 exp8 =亠卜exp8 Vd8J+88 exp_8d5_ K8 2、V Tt卜exp_8 VB_ K 8 2、k T丿
4、Bd5d53-7-4)上式中分子的被积函数是奇函数，故积分为0即8 = 0。由此可见原子的平均位置和原子的平衡位置相同，没有热膨胀。若计入非谐项的影响，贝势能曲线不对称，原子 振动的平衡位置不再是原来的平衡位置，随温度升高，振动平衡位置向右移，增大了两 原子的间距。而且温度越高，这距离越大，显示出热膨胀，且热胀系数与T有关。按玻尔兹曼统计，平均位移可写为：L u Tt丿u、Tt丿BJ+88 exp88 =J+8 exp_8 Vd8J+88 exp_8K8 2 + g8 3d8 J+8 expgVk T 丿 B K8 2 + g8 3d5d53-7-5)设5很小，贝上式的分子和分母分别为分子=
5、J+88exp_8K 2 + g8 3小8 ” (1+汙俪B(3 1、(k T、14丿V K丿523-7-6)分母=J+8 expK8 2 + g8 3d8 = J+8 exp_8K82、d8 =(兀k T、r1kT丿I kT丿V K丿BB12_ k82ge kBT d8 = - k TB3-7-7)3 g 1所以，得到：8 = k T (3-7-8)4 K 2 B、 一1 d83 g k线胀系数为：B (3-7-9)r dT 4 K 2 r00由此可见，热膨胀系数是由非谐项决定的，仅考虑势能展开式中的三次方项，热胀 系数是与温度无关的常数。如果计入势能展开式中的更高次项，则线胀系数将与温度有 关。
