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1、导数压轴题中恒成立问题方法总结恒成立问题作为高中数学学习中不可缺少一部分，掌握高中数学恒成立问题 的解题方法和思路不仅是高中阶段的重要任务，也是为日后学习数学奠定扎实基 础的关键。现主要从掌握高中数学恒成立问题的解题方法与思路的意义出发，对 恒成立问题的类型和求解方法作一小结，如“一次型”函数恒成立问题，利用函 数单调性；“二次型”函数恒成立问题，数形结合理解；可以分离参数的，转化 为函数最值求解；确定主元，利用函数单调性求解；数形结合，直观求解，以对 高中数学恒成立问题常见的解题方法和思路进行分析。一、单变量恒成立问题1.分离参数：利用分离参数法来确定不等式f(X, a)O(xGD, a为参
2、数) 恒成立时，参数 a 的取值范围的一般思路：将题目中的参数与变量分离，化为 g(a)Wf(x)(或g (a)三f(x)恒成立的形式。接下来求解出函数f (x) 的最小(或最大)值，最后解不等式g (a)Wf(x) min (或g (a)三f(x) max)，进而求得a的取值范围，该思路一般适用于参数与变量易分离且最值易 求得的题型。高考引例1 (2007年山东文)当xe(l, 2)时，x2+mx+4V0恒成立，则m 的取值范围是。本引例中，注意到x的取值范围，可以采用分离参数的方法解：由xe(1，4 42)，x2+mx+4V0恒成立，对不等式分离参数，得宀=易知f (x)在(1，2)上是减
3、函数，所以xW(1，2)时，4Vf (x)V5，则 ，所以mW 5。又如高考引例2,也可以采用分离参数的方法，只 不过要分段讨论，最终结果取“交集”。解：V xG 3,+x),2Wx 且V xG(O,+x)r+x1-max二；n aE2。f (x)W|：| 恒成立nV xW3, 0, X2+2x+a , x2+2x 2aWxn aW(x2 3x+2)=2 且 a 三min1.函数思想一般思路：首先分清楚题目中的变量与参数。一般来说,题目给出 取值范围的元为变量,最终求解范围的元为参数,通过构造变量的函数,借助所 构造的函数的取值特征进行求解。若在客观题中涉及不同类型函数恒成立问题, 可通过画函
4、数图像的方法,排除选项,提高解题速度。如引例1也可以用函数思 想(二次函数根的分布)来解答，也比较简便。解：设f (x) =x2+mx+4，易知二 次函数的图像“开口向上，则要使当xE(l，2)时，x2+mx+4V0恒成立，只1 切54-m0，f (x)V0 在 xEa，BB)上恒成立n；阻o。TH n上恒成立n =，f(x)V0在xE(a，三)构造函数求解l、(2014北京高考卷理第18题)已知函数f(x)二xcosx-sinxxE0，_ ，(1) 求证:f(x)WO；(2) 若a J )恒成立，求a的最大值与b的最小值。解：(1) 由 f(x)=xcosx-sinx 得 fz(x)=cos
5、xcsinx-cosx=csinx 因为在区 托71间(0, 一)上f(x)=xsinx0 时，二 X sinx- x0，； 0 对任意 xW(0, 一)恒成立。当cMl时，因为对任意xE(0,匚),g(x)=cosx c0，所以g(x)在区间0,匚上单Il调递减，从而 g(x)恒成立。当 00(0,二)，g(x)=cosx c=0。g(x)与 g(x)00II在区间(0,二)上的情况如下：00打71!nnXG(O,匚)恒成立”当且仅当gU )=1 CO,即0。综上所述，当且仅当c0对任意xG(0, 一)恒成立；当且仅当cl时,g(x)y -e1-在区丄 2叱-丄解：(l)f(x)=2ax二：
6、(x0)当 aWO 时，f(x)0时，由f(x)=O,由x=二,此时当xG(0,二)1时,f(x)0, f(x)单调递减。丄 丄 芒J(2 )令 g(x)=二,s(x)=ex-i,贝U s(x)二ex-i-l,而当 xl时，s(x)0,所以s(x)在区间(1,+)内单调递增。又由s(1)=0,有s(x)0,从而当x1 时,g(x)0 当 aW0,x1, f(x)=a(x2-1)-lnxg(x)在区间(1,+*)内恒成立时，必有1 1a0。当 0 时，二 1,由(1)有 f (二)0,所以 f (x)g(x)在区间_1(1,+*)内不恒成立。当 a三一时，令 h(x)=f(x) -g(x)(x1
7、) o 当 x1丄丄时，h(x)=2ax- +.0因此，h(x)在区间(1,+*)单调1 丄 1-注1-e1-xx- +.、二 :, 递增。又因为h(1)=0,所以当x1时,h(x)二f(x)-g(x)0,即f(x)g(x)恒成立。综上，aWI ,+*。本题对a进行分类讨论，逐段筛选出符合条件的a的范围。求解的办法是对函数(或构造的函数)求导，然后结合单调性等验证不等式是否恒成立，这种解法既考查对不等式恒成立条件正面的探究过程，又考查不等式恒成立的否定过程。二、双变量恒成立问题例：设函数 f ( x ) =x 2sinx , V x1 , x2G 0 , n ,恒有 :- 計，求M的最小值。分
8、析：由题易知，要使得；, V x1,x2G0,n 恒成立，只需求.，即；的值。解：由 f (x) =x 2sinx,得 f(x) =l 2cosx，易知厂3 时，f匚(x)V0, f (x)单调递减；.7时，f(x)0, f (x)单调递增。所以当x=T时，f(X)有极小值,(0) 0, f ( n ) n ,所以即最小值，且f (x)-f(；)-一 。又fminf ( x )-n。所以 M三 :max-jG波利亚在数学的发现中曾说：“数学的技能比知识更重要。”含参恒成立问题的题型和解题策略远不止这些,比如还有一次函数求解型,确定主元 法,数形结合法,观察、证明、猜想等方法。而在解题中,解题方法常是交叉使 用的,更重要的是阐述分析问题和解决问题的一般规律和解题策略,解法并不唯 一。恒成立问题对思维能力的要求远远高于对知识的理解与一般意义上的运用。
