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1、弹簧类模型中的最值问题在高考复习中，常常遇到有关“弹簧类”问题，由于弹簧总是与其他物体直接 或间接地联系在一起，弹簧与其“关联物”之间总存在着力、运动状态、动量、能 量方面的联系，因此学生普遍感到困难，本文就此类问题作一归类分析。一、最大、最小拉力问题例1. 一个劲度系数为k = 600N/m的轻弹簧，两端分别连接着质量均为m=15kg 的物体A、B,将它们竖直静止地放在水平地面上，如图1所示，现加一竖直向上的 外力F在物体A上，使物体A开始向上做匀加速运动，经0.5s, B物体刚离开地面 （设整个加速过程弹簧都处于弹性限度内，且g=10m/s2）。求此过程中所加外力的 最大和最小值。图1解析
2、：开始时弹簧弹力恰等于A的重力，弹簧压缩量工B物体刚要离开地面，此时弹簧弹力恰等于B的重力，工二工= ，故对A物体有，代入数据得=_：；：刚开始时F为最小且1匚卞=二曲，B物体刚要离开地面时，F为最大且有-mg-mg = ma，解得厲宝=2鹽 +回应=360N 。二、最大高度问题例2.如图2所示，质量为m的钢板与直立弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地 面上，平衡时弹簧的压缩量为。一物体从钢板正上方距离为:的A处自由下落打 在钢板上，并立即与钢板一起向下运动，但不粘连，它们到达最低点后又向上运动， 已知物块质量也为m时，它们恰能回到0点，若物体质量为2m仍从A处自由下落，则物块与钢板回到0点时还有
3、向上的速度，求物块向上运动到达的最高点与0点的 距离。图2解析：物块碰撞钢板前作自由落体运动，设表示物块与钢板碰撞时的速度， 则:好7物块与钢板碰撞后一起以V速度向下运动，因碰撞时间极短，碰撞时遵循动量 守恒卩：=刚碰完时弹簧的弹性势能为匚，当它们一起回到0点时，弹簧无形变，弹性势能为0，根据机械能守恒有：6二匚汀厂八壬设表示质量为2m的物块与钢板碰撞后开始向下运动的速度，由动量守恒有:碰撞后，当它们回到0点时具有一定速度v,由机械能守恒定律得:当质量为2m的物块与钢板一起回到0点时两者分离，分离后，物块以v竖直上升，其上升的最大高度：解式可得：。三、最大速度、最小速度问题例 3. 如图 3
4、所示，一个劲度系数为 k 的轻弹簧竖直立于水平地面上，下端固定 于地面，上端与一质量为m的平板B相连而处于静止状态。今有另一质量为m的物 块A从B的正上方h高处自由下落，与B发生碰撞而粘在一起，已知它们共同向下 运动到速度最大时，系统增加的弹性势能与动能相等，求系统的这一最大速度v。图3解析：A下落到与B碰前的速度V为：二启:A、B碰后的共同速度v为：胡气=（胡+濟巴B静止在弹簧上时，弹簧的压缩量为X。，且：A、B 一起向下运动到最大速度v时的位移为x,此时A、B的加速度为0，即有:- ：:由机械能守恒得：+ = 2m)v2 +Ep解得:例4.在光滑水平面内，有A、B两个质量相等的木块,nr
5、= Y，中间 用轻质弹簧相连。现对B施一水平恒力F,如图4所示，经过一段时间，A、B的速 度等于5m/s时恰好一起做匀加速直线运动，此过程恒力做功为100J，当A、B恰好 一起做匀加速运动时撤除恒力，在以后的运动过程中求木块A的最小速度。图4解析：当撤除恒力F后，A做加速度越来越小的加速运动，弹簧等于原长时， 加速度等于零，A的速度最大，此后弹簧压缩到最大，当弹簧再次回复原长时速度 最小，根据动量守恒得:=心根据机械能守恒得：由以上两式解得木块A的最小速度v = 0。四、最大转速和最小转速问题例 5. 有一水平放置的圆盘，上面放一个劲度系数为 k 的轻弹簧，其一端固定于 轴0上，另一端系着质量
6、为m的物体A,物体A与盘面间最大静摩擦力为Ffm弹簧 原长为L,现将弹簧伸长二后置于旋转的桌面上，如图5所示，问：要使物体相对 于桌面静止，圆盘转速 n 的最大值和最小值各是多少？图5解析：当转速n较大时，静摩擦力与弹簧弹力同向，即:22 - F.-.二：:匚 二.匸-二 1班工十AZ)当转速n较小时，静摩擦力与弹簧弹力反向，即:所以圆盘转速 n 的最大值和最小值分别为：五、最大加速度问题例6.两木块A、B质量分别为m、M,用劲度系数为k的轻质弹簧连在一起，放 在水平地面上，如图6所示，用外力将木块A压下一段距离静止，释放后A做简谐 运动，在A振动过程中，木块B刚好始终未离开地面，求木块A的最
7、大加速度。图6解析：撤去外力后，A以未加外力时的位置为平衡位置作简谐运动，当A运动 到平衡位置上方最大位移处时，B恰好对地面压力为零，此时A的加速度最大，设 为 am。对A：由牛顿第二定律有U 它=对 B：- ：二 七（Af十琬 g所以八一，方向向下。六、最大振幅例7.如图7所示，小车质量为M,木块质量为m,它们之间静摩擦力最大值为 Ff,轻质弹簧劲度系数为k，振动系统沿水平地面做简谐运动，设木块与小车间未发 生相对滑动，小车振幅的最大值是多少？解析：在最大位移处，M和m相对静止，它们具有相同的加速度，所以对整体 有:二二亠一卞对m有：八八二所以由解得：一一 ：。七、最大势能问题例8.如图8所
8、示，质量为2m的木板，静止放在光滑的水平面上，木板左侧固定 着一根劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧的自由端到小车右端的距离为L。，一个质量 为m的小木块从板的右端以初速度v0开始沿木块向左滑行，最终回到木板右端，刚 好不从木板右端滑出，设木板与木块间的动摩擦因数为求在木块压缩弹簧过程 中（一直在弹性限度内）弹簧所具有的最大弹性势能。图8解：弹簧被压缩至最短时，具有最大弹性势能J，设m在M上运动时，摩擦 力做的总功产生内能为2E,从初状态到弹簧具有最大弹性势能及从初状态到末状 态，系统均满足动量守恒定律，即：-二-：:： 由初状态到弹簧具有最大弹性势能，系统满足能量守恒：=豊3如+% +应由初状态到末状态，系统也满足能量守恒且有= (3同护+2E由求得：从以上各例可以看出，尽管弹簧类问题综合性很强，物理情景复杂，物理过程 较多，但只要我们仔细分析物理过程，找出每一现象所对应的物理规律，正确判断 各物理量之间的关系，此类问题一定会迎刃而解。
