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1、第一章 事件与概率1、若A，,C是随机事件,说明下列关系式的概率意义:（）；（）；(3)；（4)。2、试把表示成n个两两互不相容事件的和。3、若A，,，D是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：(）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（)A,B都发生而C,D都不发生;（4）这四个事件都不发生；（5)这四个事件中至多发生一个。、证明下列等式:（);(）；(3）5、袋中有白球5只，黑球6只,陆续取出三球,求顺序为黑白黑的概率。6、一部五本头的文集,按任意次序放书架上去,试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边;(）第一卷及第五卷出现在旁边；(3）第一卷或第五卷出现在旁边；(4）第一
2、卷及第五卷都不出现在旁边；(5）第三卷正好在正中。、把戏，3，4，诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。8、在一个装有n只白球,只黑球，n只红球的袋中,任取m只球，求其中白、黑、红球分别有只的概率。9、甲袋中有3只白球，7办红球，1只黑球，乙袋中有0只白球,6只红球，9只黑球.现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率.1、由盛有号码，N的球的箱子中有放回地摸了n次球，依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率.11、任意从数列，中不放回地取出n个数并按大小排列成：，试求的概率，这里.1、从6只不同的手套中任取只，问其中恰有一双配对的概率是多少？13
3、、从n双不同的鞋子中任取2(2n）只，求下列事件发生的概率:（1)没有成对的鞋子；()只有一对鞋子；()恰有两对鞋子；（4）有对鞋子.1、袋中有n只球，记有号码,求下列事件的概率：（1）任意取出两球，号码为1，2;（）任意取出3球，没有号码1;（3任意取出5球,号码1，2,3,中至少出现一个.5、袋中装有号的球各一只,采用(1）有放回;(1）不放回方式摸球，试求在第k次摸球时首次摸到1号球的概率。1、甲有n1个硬币，乙有n个硬币,双方投掷之后进行比较，求早掷出的正面比乙掷出的正面多的概率。17、一颗骰子投4次至少得到一个六点,与两颗骰子投24次至少得到一个双六这两件事,哪一个有更多的机会遇到？
4、18、从52张扑克牌中任意抽取1张来，问有5张黑桃,3张红心，3张方块，张草花的概率。、桥牌游戏中（四人各从52张纸牌中分得13张)，求4张A集中在一个人手中的概率.20、在扑克牌游戏中(从52张牌中任取5张），求下列事件的概率:（1)以A打头的同花顺次五张牌；（2）其它同花是非曲直次五比重牌；（3）有四张牌同点数;（）三张同点数且另两张也同点数;（5)五张同花;（6)异花顺次五张牌；（7）三张同点数；()五比重中有两对;(）五张中有一对；（10)其它情况。2、某码头只能容纳一只船，现预知某日将独立来到两只船，且在2小时内各时刻来到有可能性都相等,如果它们需要停靠的时间分别为小时及小时，试求有
5、一船要在江中等待的概率。2、两人约定于7点到8点在某地会面，试求一人要等另一人半小时以上的概率.2、设是随机事件，试用归纳法证明下列公式:。2、考试时共有N张考签，n个学生参加考试，被抽过的考签立刻放回，求在考试结束后,至少有一张考签没有被抽过的概率.25、甲,乙丙三人按下面规则进行比赛，第一局由甲,乙参加而丙轮空，由第一局的优胜者与丙进行第二局比赛，而失败者则轮空，比赛用这种方式一直进行到其中一个人连胜两局为止，连胜两局者成为整场比赛的优胜者。若甲,乙，丙胜每局的概率各为1/2，问甲，乙,丙成为整场比赛优胜者的概率各是多少？2、给定，求及。2、已知：，证明:。2、（1)已知与同时发生则A发生
6、,试证：(2）若,试证：29、利用概率论的想法证明下列恒等式：其中A，a都是正整数，且。30、证明的一切子集组成的集类是一个域。31、证明：域之交仍为域.2、向边长为 的正方形由任意投一点，求此点正好落在对正方形对角形上的概率?3、在0只电子表中有2只是次品,现从中不放回的连续抽取两次，每次抽取一只，求正好抽到一个是正品，一个是次品的概率?4、在5双不同的鞋中任取4双,求至少能配成一双的概率？5、在整数0至中任取4个，能排成一个四位偶数的概率是多少？6、两人相约于7点到8点间在某地相会，约定先到者等候另一人20分钟，过时离去，试求这两人能会面的概率是多少?3、有10个电阻，其电阻值分别为，从中
7、取出三个,要求取出的三个电阻，一个小于,一个大于,另一个等于，问取一次就能达到要求的概率。38、两船欲靠同一码头，设两船独立地到达，而且各自到达时间在一昼夜间是可能的，如果此两船在码头停留的时间分别是1及2小时,试求一船要等待空出码头的概率。39、任意取两个正的真分数，求它们的乘积不大于1/4的概率。40、在区间中随机取两数，求两数之和小于12的概率。41、设3个事件A,B，C，满足,求。4、某城市中发行2种报纸A，B。经调查，在这2种报纸的订户中，订阅A报的有4%，订阅B报的有35%，同时订阅2种报纸A，B的有1%。求:（1）只订A报的概率；（2）只订种报纸的概率。43、从五个数码中，任取3
8、个不同数码排成三位数，求：(）所得三位数为偶数的概率;(）所得三位数为奇数的概率。44、电话号码由个数字组成，每个数字可以是中的任一个数（但第1个数字不能为0）,求电话号码由完全不相同的数字组成的概率。4、袋中有5个白球和个黑球。从中任取2个球,求:（)取得的2个球同色的概率；（2)取得的2个球至少有1个是白球的概率。、证明：4、证明：包含一切形如的区间的最小域是一维波雷尔域。第一章 解答1、解:（)ABC，若A发生，则B与C必同时发生。（2)，B发生或C发生，均导致A发生.(3)与B同时发生必导致C发生.(4）,A发生，则与至少有一不发生。、解： （或）3、解：（）至少发生一个=（2）恰发生
9、两个=.（）A,B都发生而C,D都不发生.（4）都不发生=.（)至多发生一个=.4、解：(1)因为，两边对求导得,在其中令x=1即得所欲证.(2）在上式中令x=即得所欲证.（3）要原式有意义,必须.由于,此题即等于要证利用幂级数乘法可证明此式。因为,比较等式两边的系数即得证.5、解：6、解：（1)第一卷出现在旁边，可能出现在左边或右边，剩下四卷可在剩下四个位置上任意排，所以（）可能有第一卷出现在左边而第五卷出现右边，或者第一卷出现在右边而第五卷出现在左边,剩下三卷可在中间三人上位置上任意排,所以 （3)第一卷出现在旁边+P第五卷出现旁边P第一卷及第五卷出现在旁边.（4）这里事件是(3）中事件的
10、对立事件,所以 (）第三卷居中，其余四卷在剩下四个位置上可任意排,所以7、解:末位数吸可能是2或。当末位数是2（或4）时,前两位数字从剩下四个数字中选排，所以 8、解:9、解:P两球颜色相同=两球均白+两球均黑+P两球均红.1、解:若取出的号码是按严格上升次序排列，则n个号码必然全不相同，。个不同号码可产生种不同的排列，其中只有一个是按严格上升次序的排列,也就是说,一种组合对应一种严格上升排列,所以共有种按严格上升次序的排列.总可能场合数为,故题中欲求的概率为.1、解：因为不放回,所以n个数不重复。从中取出m1个数，从中取出个数，数M一定取出，把这n个数按大小次序重新排列,则必有。故.当或时，
11、概率。1、解:有利场合是，先从6双中取出一双，其两只全取出；再从剩下的5双中取出两双,从其每双中取出一只.所以欲求的概率为3、解:(1）有利场合是，先从双中取出2双，再从每双中取出一只。(2）有利场合是，先从n双中取出一双，其两只全取出，再从剩下的双中取出双，从鞭每双中取出一只.（3)（）.4、解:（1)P任意取出两球，号码为1，=（2）任取个球无号码，有利场合是从除去1号球外的个球中任取个球的组合数，故P任取3球，无号码1(）任取球,号码1，2,3中至少出现1个=任取5球，号码1，2,3不出现其中任取5球无号码1，2,3,有利场合是从除去1,2，3号球外的个球中任取5个球的组合数.15、解：
12、（）有利场合是,前次从个号中(除1号外）抽了，第次取到1号球， (）考虑前k次摸球的情况，。1、解法一：设A甲掷出正面数乙掷出正面数，B=甲掷出反面数乙掷出反面数.考虑=甲掷出正面数乙掷出正面数。设发生.若乙掷出次正面,则甲至多掷出次正面,也就是说乙掷出次反面，甲至少掷出1次反面,从而甲掷出反面数乙掷出反面数。若乙掷出次正面,则甲至多掷出次正面,也就是说乙掷出1次反面,甲至少掷出2次反面,从而也有甲掷出反面数乙掷出反面数,等等.由此可得。显然与B是等可能的，因为每人各自掷出正面与反面的可能性相同，所以从而.解法二:甲掷出个硬币共有个等可能场合，其中有个出现0次正面，有个出现1次正面，,个出现次
13、正面。乙掷n个硬币共有个等可能场合,其中有个出现0次正面，个出现1次正面，个出现n次正面。若甲掷个硬币,乙掷n个硬币,则共有种等可能场合,其中甲掷出正面比乙掷出正面多的有利场合数有利用公式及得+所以欲求的概率为 . 应注意，甲掷出个正面的个场合不是等可能的。、解:事件“一颗投4次至少得到一个六点”的对立事件为“一颗投4次没有一个六点”,后者有有利场合为，除去六点外的剩下五个点允许重复地排在四个位置上和排列数，故,P一颗投次至少得到一个六点=一颗投4次没有一个六点=。投两颗骰子共有种可能结果,除双六(6,6)点外，还有35种结果,故两颗投24次至少得到一个双六=两颗投24次没有一个双六=。比较知
14、,前者机会较大.18、解：19、解:。或解为，4张A集中在特定一个手中的概率为，所以4张A集中在一个人手中的概率为 20、解:(）。 这里设A只打大头,若认为可打两头AKQJ10及A2345，则答案有变，下同。(2）取出的一张可民由，Q，,6八个数中之一打头，所以（3）取出的四张同点牌为13个点中的某一点,再从剩下4张牌中取出张，所以 （4）取出的张同点占有3个点中一个点，接着取出的两张同点占有其余个点中的一个点,所以 ()5张同花可以是四种花中任一种，在同一种花中,5张牌占有1个点中5个点，所以 (6）异花顺次五张牌=顺次五张牌-同花顺次五张牌。顺次五张牌分别以A，6九个数中之一打头，每张可以有四种不同的花；而同花顺次中花色只能是四种花中一种。所以p = P顺次五张牌-同花顺次五张牌（7）三张同点牌占有13个点中一个占有剩下1个点中两个点,所以(8）P五张中有两对=P五张中两对不同点+P五张中两对同点 （9） (0）若记(i）事件为,则而事件两两不相容，所以 y 21、解：设,分别为此二船到达码头的时间，则 24 F E. 两船到达码头
