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1、有一无盖立方体纸箱，若将其沿棱剪成展开图，问有多少种不同形式的展开图？ 解因总面数是5，不会出现 5个面全部排成一行（列）的情形.（1） 当 一 行 （ 列 ） 面 数 最 多 是 4 时 ， 有 两 种 情 形 （ 注 意 对 称 性 ） ， 如 图 ）2） 当一行（列）面数最多是 3 时，剩下的两个面位于这一行（列）的同一侧有两种不同情形，如图 15-23） 剩 下 的 两 个 面 位 于 这 一 行 （ 列 ） 的 异 侧 有 三 种 不 同 情 形 ， 如 图（4） 当一行（列）的面数最多是 2 时，仅一种情形，如图所示.总数为2+2+3+1=8 种，即有8种不同的展开形式.探究正方体
2、的展开图将一个正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面，共有哪些不同的图形呢？要搞清这个问题，最好是动手实践，比如找一些正方体纸盒，沿着棱按不同方式将其剪开（ 但不要剪 断，六个面要通过边连在一起），展成平面，再观察、对比一下不同形状的图形有哪些。如果不容易找到足够的正方体纸盒，还可以找一些不太厚、易折叠的正方体纸板，利用逆向思维，先 猜测正方体展开图会有哪些不同形状，并将它们画在纸板上，再将周围多余部分剪去，然后沿所画直线直 行折叠，看看哪些图形纸板可以折叠成正方体。这种探究方法虽然有点麻烦，但操作简便易行，快速有 效。事先可多画一些纸板（六个正方形边与边对齐，任意连接成不同的平面图形），经过
3、逐个验证，记录下 所有可以折叠成正方体的图形，再将这些图形分类，总结并寻找出其中的规律。那么，沿棱剪开展开一个正方体，究竟有哪些不同的形状呢？如果不考虑由于旋转或翻折等造成相对 位置的不同，只从本质上讲，有以下三类共 11 种。一、“141型”（共 6种）特点：这类展开图中，最长的一行（或一列）有4个正方形（图1图6）。理解：有 4个面直线相连，其余 2个面分别在“直线”两旁，位置任意。二、“231型”与“33型”（共 4种）特点：这类展开图中，最长的一行（或一列）有 3 个正方形（如图 7图 10）。理解：在“231 型”中，“3”所在的行（列）必须在中间，“2”、“1”所在行（列）分属两边
4、（前后 不分），且“2”与“3”同向，“1”可以放在“3”的任意一个正方形格旁边，这种情况共有3种，而“33 型”只有 1 种。三、“222型”（只有 1种）特点：展开图中，最多只有2个面直线相连（图11）。评注：将上面11个图中的任意一个，旋转一定角度或翻过来，看上去都与原图似有不同，但这只是 图形放置的位置或方式不同。实际上，它与原图能够完全重合，不能算作一个独立的新图，而从上面 11 个图中任取两个，不论怎样操作（旋转、翻折、平移等），它们都不可能完全重合，即彼此是独立的、不同的 图形。对于由大小一样的六个正方形通过边对齐相连组成的平面图，如果图中含有“一”字型、“7”字型、“田”字型、
5、“凹”字型，就一定不能折成正方体。概括地说，只要不符合上述“ 141”、“ 231”和 “33”、“ 222”的特点，就不能折成正方体。如图 12，如果将其看作“ 231”型，那么，无论怎么看， “ 2”和“3”都不是同向，故不能折成正方体。其实，它属于“ 123”（或“ 321”）型。巧记口诀确定正方体表面展开图6 个相连的正方形组成的平面图形，经折叠能否围城正方体问题，是近年来中考常考题型。同学们在学习这一知识时常感到无从下手，现将确定正方体展开图的方法以口诀的方式总结出来，供大家参考：正方体盒巧展开，六个面儿七刀裁。十四条边布周围，十一类图记分明：四方成线两相卫，六种图形巧组合；跃马失蹄
6、四分开；两两错开一阶梯。对面相隔不相连,识图巧排“7”、“凹”、“田”。现将口诀的内涵解释如下：将一个正方体盒的表面沿某些棱剪开，展开成平面图形，需剪 7刀，故平面 展开图中周围有14条边长共有十一种展开图：一、四方成线两相卫，六种图形巧组合（1）（2）（3）（4）5）（6）另外卜两-个小方块二、跃马失蹄四分开1）（2）（3）（4）（如图）， 这一图形有以上四种情况可归结为五个小方块组成“三二相连”的基本图形 另外一个小方块的位置有四种情况，即图中四个小方块中的任意一个 点像失蹄的马，故称为“跃马失蹄”。三、两两错开一阶梯这一种图形是两个小方块一组，两两错开，像阶梯一样，故称“两两错开一阶梯”
7、。四、对面相隔不相连这是确定展开图的又一种方法，也是确定展开图中的对面的一种方法。如果出现三个相连，则 1号面与3号123面是对面，中间隔了一个2号面，并且是对面的一定不相连。（1）（2）（3） 这里介绍的是一种 展开图的，因为图如果图中出现五、识图巧排“7”、“凹”、“田”排除法。如果图中出现象图（1）中的“7”形结构的图形不可能是正方体 中 1 号面与 3 号面是对面， 3 号面又与 5 号面是对面，出现矛盾。 象图（2）中的“田”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为同一 顶点处不可能出现四个面的。如果图中出现象图（3）中的“凹”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为如果把该图形折叠
8、起来 将有两个面重合。现举例说明：例 1（2004 海口市实验区）下面的平面图形中，是正方体的平面展开图的是（）解析：本题可用“识图巧排7、田、凹”来解决。A、D都有“凹”形结构，B有“田” 形结构，故应选 C正方体的拼接右图中过折叠例 2 （ 2004 扬州）马小虎准备制作一个封闭的 盒子，他先用 5 个大小一样的正方形制成如右图所示 图形（实线部分），经折叠后发现还少一个面，请你在 的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经 后能成为一个封闭的正方体盒子.（注：只需添加一个符合要求的正方形；添加的正方形用阴影表示） 三二相连的四种情况之解析：本题可用“跃马失蹄四分开”来解决。图中具备了
9、结构，故本题有四种答案，即小方块的位置有图中所示的试一试：1（2004 浙江金华）下列图形中，不是立方体表面展开图的是（）2（2004 镇江）如图，有一个正方体纸盒，在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和圆，现用一把剪刀沿着它的棱剪开成一个平面图形，则展开图可以是（）面展开图，若相对面上的的三个正方形2 1(D)2, 0, 1图勺分别填上适数互为相反2）是其两个面动手试曰疋体包装图沿虚线折成正 弄数依次是,丿 V, 1，2 （C） 1，0，3 当的数 数，则填（A正方体纸盒）（B（2005济南中考题）在正方体的表面上画有如图）（1）中所示的粗线，（C）I 展开图的示意图，但只在A面上画有粗线，那么将图（1）中剩余 中的粗线画入图（2）中，画法正确的是（如果没有把握，还可以 一试）海南）如图这个、B、C 内CL0(D)
