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1、集合间的基本关系九大题型解析【题型1 子集、真子集的概念】【例1】（2023高一课时练习）已知A是非空集合，则下列关系不正确的是（）AAABAACADA【解题思路】根据集合间的关系，以及子集，真子集，空集的定义即可求解.【解答过程】由于A是非空集合，所以AA，A，A，但是A不是A的真子集，故ACD正确，B错误，故选：B.【变式1-1】（2023高一课时练习）集合A=x0x4,且xN的真子集的个数是（）A16B15C8D7【解题思路】用列举法表示集合A，根据下面的结论求解：含有n个元素的集合的真子集的个数是2n1个【解答过程】A=0,1,2,3，集合A含有4个元素，真子集的个数是241=15，故
2、选：B【变式1-2】（2023全国高一假期作业）已知集合A=0,1,2,3，则含有元素0的A的子集个数是（）A2B4C6D8【解题思路】列出含有元素0的A的子集，求出答案.【解答过程】含有元素0的A的子集有0，0,1，0,2，0,3，0,1,2，0,1,3，0,2,3，0,1,2,3，故含有元素0的A的子集个数为8.故选：D.【变式1-3】（2023河南统考模拟预测）已知集合A=xN2x3，则集合A的所有非空真子集的个数是（）A6B7C14D15【解题思路】根据自然数集的特征，结合子集的个数公式进行求解即可.【解答过程】因为A=xN2x3=0,1,2，所以集合A的元素个数为3，因此集合A的所有
3、非空真子集的个数是232=6，故选：A.【题型2 有限集合子集、真子集的确定】【例2】（2023高一课时练习）满足1,2A1,2,3,4的集合A的个数为（）A2B3C4D5【解题思路】利用列举法求得集合A的个数.【解答过程】由于1,2A1,2,3,4，所以A=1,2,A=1,2,3,A=1,2,4,A=1,2,3,4，共4种可能.故选：C.【变式2-1】（2023江西景德镇统考模拟预测）已知集合A=a,b的所有非空子集的元素之和等于12，则a+b等于（）A1B3C4D6【解题思路】首先列出集合A的非空子集，即可得到方程，解得即可.【解答过程】解：集合A=a,b的非空子集有a、b、a,b，所以a
4、+b+a+b=12，解得a+b=6.故选：D.【变式2-2】（2023全国高一假期作业）已知非空集合M1，2，3，4，5，若aM，则6-aM，那么集合M的个数为（）A5B6C7D8【解题思路】由条件知集合M的元素性质,分类讨论验证即可.【解答过程】aM，6-aM，M1，2，3，4，5，3在M中可单独出现，1和5，2和4必须成对出现，逐个分析集合M元素个数：一个元素时，为3；两个元素时，为1，5，2，4；三个元素时，为3，1，5，3，2，4；四个元素时，为1，5，2，4；五个元素时，为1，5，3，2，4，共7个.故选：C.【变式2-3】（2023江西吉安统考模拟预测）已知A=1,2，B=1,2,
5、6,7,8，且ACB，满足这样的集合C的个数（）A6B7C8D9【解题思路】由集合间的基本关系ACB，对集合C中元素个数进行分类讨论，列举出所有可能即可得出结果.【解答过程】根据题意可知，集合C还应包含集合B中除元素1，2之外的其他元素；若集合C中有三个元素，则C可以是1,2,6,，1,2,7，1,2,8；若集合C中有四个元素，则C可以是1,2,6,7，1,2,7,8，1,2,6,8；若集合C中有五个元素，则C可以是1,2,6,7,8；即这样的集合C的个数为7个.故选：B.【题型3 判断两个集合是否相等】【例3】（2023全国高三专题练习）已知集合M=1,0，则与集合M相等的集合为（）A(x,
6、y)xy=1x+y=1B(x,y)y=x1+1xCxx=(1)n12,nNDx1x2,xN【解题思路】求出每个选项的集合，即可比较得出.【解答过程】对A，(x,y)xy=1x+y=1=0,1M，故A错误；对B，(x,y)y=x1+1x=1,0M，故B错误；对C，xx=(1)n12,nN=1,0M，故C错误；对D，x1x2=y|y2D1,2=2,1【解题思路】根据给定条件，利用集合的意义及表示法逐项分析判断作答.【解答过程】对于A，因x|x+y=1=R，y|x+y=1=R，即x|x+y=1=y|x+y=1，A正确；对于B，因集合(x,y)|x+y=2的元素为有序数对，而x|x+y=2的元素为实数
7、，两个集合的对象不同，B不正确；对于C，因集合x|x2与y|y2都表示大于2的数形成的集合，即x|x2=y|y2，C正确；对于D，由列举法表示集合知1,2=2,1正确，D正确.故选：B.【变式3-2】（2023全国高一假期作业）已知集合M=(x,y)|x+y0和P=(x,y)|x0,y0，那么（）APMBMPCM=PDMP【解题思路】先利用不等式的性质化简集合M，再利用集合与集合间的关系可知，M=N，从而得解.【解答过程】由x+y0，得到x0y0，所以M=(x,y)|x+y0=(x,y)|x0,y0，又P=(x,y)|x0,y0，所以M=N，故选：C.【变式3-3】（2023秋四川眉山高一校考
8、期末）若集合A=x|x=192k+1,kZ，B=x|x=49k19,kZ，则集合A，B之间的关系表示最准确的为（）AABBBACA=BDA与B互不包含【解题思路】对k分奇偶进行讨论，即可判断集合A，B之间的关系.【解答过程】对于集合A，当k=2nnZ时，A=x|x=49n+19,nZ，当k=2n1nZ时，A=x|x=49n19,nZ，所以A=B.故选：C.【题型4 根据两个集合相等求参数】【例4】（2023春湖南长沙高二校考期末）已知实数集合A=1,a,b,B=a2,a,ab,若A=B，则a+b=（）A1B0C1D2【解题思路】根据A=B，可得两集合元素全部相等，分别求a2=1ab=b和a2=
9、bab=1,再根据集合元素的互异性可确定a，b的值，进而得出答案.【解答过程】由题意A=B可知，两集合元素全部相等，得到a2=1ab=b或a2=bab=1又根据集合互异性，可知a1，解得a=1b=0或a=1b=1（舍），所以a=1,b=0,a+b=1,故选:A.【变式4-1】（2023广西河池校联考模拟预测）设集合M=5，x2，N=5x，5若M=N，则实数x的值组成的集合为（）A5B1C0，5D0，1【解题思路】利用集合相等求解.【解答过程】解：因为M=N，所以x2=5x，解得x=0或5，x的取值集合为0,5，故选：C.【变式4-2】（2023江西校联考模拟预测）已知集合A=1,a,b，B=a
10、2,a,ab，若A=B，则a2023+b2022=（）A1B0C1D2【解题思路】根据A=B，可得两集合元素全部相等，分别求a2=1ab=b和a2=bab=1，再根据集合元素的互异性可确定a，b的值，进而得出答案.【解答过程】由题意A=B可知，两集合元素全部相等，得到a2=1ab=b或a2=bab=1，又根据集合互异性，可知a1，解得a=1(舍)，a=1b=0和a=1b=1(舍)，所以a=1，b=0，则a2023+b2022=(1)2023+02022=1，故选：A.【变式4-3】（2023全国高三专题练习）已知集合Ax|x2pxqx，Bx|(x1)2p(x1)qx3，当A2时，集合B（）A1
11、B1，2C2，5D1，5【解题思路】根据集合的相等的意义得到x2pxqx 即x2+p1x+q=0有且只有一个实数解x=2,由此求得p,q的值，进而求得集合B.【解答过程】由Ax|x2pxqx2知，x2pxqx 即x2+p1x+q=0有且只有一个实数解x=2,222pq2，且(p1)24q0.计算得出p3，q4.则(x1)2p(x1)qx3可化为(x1)23(x1)4x3；即(x1)24(x1)0；则x10或x14，计算得出x1或x5.所以集合B1，5故选：D.【题型5 空集的判断及应用】【例5】（2023全国高一假期作业）下列集合中为的是（）A0BCx|x2+4=0Dx|x+12x【解题思路】
12、根据集合的表示方法，逐项判定，即可求解.【解答过程】对于A中，由集合0中有一个元素0，不符合题意；对于B中，由集合中有一个元素，不符合题意；对于C中，由方程x2+4=0，即x2=4，此时方程无解，可得x|x2+4=0=，符合题意；对于D中，不等式x+12x，解得x1，x|x+12x=x|x1，不符合题意.故选：C.【变式5-1】（2023全国高一假期作业）下列四个集合中，是空集的是（）Ax|x+3=3B(x,y)|y2=x2,x,yRCx|x20Dx|x2x+1=0,xR【解题思路】对每个集合进行逐一检验，研究集合内的元素是否存在即可选出.【解答过程】选项A，x|x+3=3=0；选项B，(x,
13、y)|y2=x2,x,yR=(0,0)；选项C，x|x20=0；选项D，x2x+1=0,=14=30，方程无解， x|x2x+1=0,xR=.故选:D.【变式5-2】（2023全国高一假期作业）已知六个关系式；0；0；=0；，它们中关系表达正确的个数为（）A3B4C5D6【解题思路】根据空集的性质、元素与集合、集合与集合的关系判断各关系式的正误.【解答过程】根据元素与集合、集合与集合关系：是的一个元素，故，正确；是任何非空集合的真子集，故、0，正确；没有元素，故0，正确；且0、，错误，正确；所以正确.故选：C.【变式5-3】（2023春宁夏银川高二校考期中）下列各式中：00,1,2；0,1,22,1,0；0,1,2；=0；0,1=(0
