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1、考试要求：第一章：随机过程及其分类（1）了解随机过程和有限维分布函数族的概念，掌握随机过程的n维分布函数、分布密 度的概念。（2）理解随机过程的均值函数、协方差函数和相关函数的概念，掌握它们的主要性质， 并会对给定的简单过程和常用的重要过程计算这些数字特征。（3）了解随机过程的分类方式及分类。（4）了解两个随机过程的联合分布的概念。会计算联合随机过程的互协方差函数和互相 关函数。第二章：Markov过程（1）理解马氏链及其转移概率的定义和性质。理解齐次性的概念。了解独立增量过程与 马氏过程的关系。（2）掌握C-K方程，并能利用C-K方程计算转移概率。（3）了解状态的常返性、遍历性的概念。掌握遍
2、历性的主要定理的条件和结论。能对简 单齐次马氏链的状态进行分类。（4）掌握马氏链的极限性质，掌握平稳分布的概念，能对简单的齐次马氏链找平稳分布。（5）掌握纯不连续马氏过程转移概率的概念，掌握转移率矩阵（Q矩阵）的定义和求法。（6）掌握前进方程、后退方程及福克普朗克方程，会利用此方程求过程的均值函数。（7）理解生灭过程的定义，并能写出生灭过程的Q矩阵。第三章： Poission 过程（1）掌握独立增量过程、正交过程及计数过程的定义。（2）掌握Poission过程的定义及一维分布，会求此过程的数字特征。（3）掌握 Poission 过程与指数分布之间的关系。第四章：二阶矩过程、平稳过程和随机分析（
3、1）掌握二阶矩过程、严平稳过程及宽平稳过程的定义及关系。（2）了解均方极限、均方连续、均方导数和均方积分的概念，会判断一个随机过程的均 方连续性及均方可导性。掌握均方导数过程的相关函数于原过程的相关函数之间的 关系。（3）掌握平稳过程各态历经性的概念。了解判断均值、相关函数具有各态历经性的定理。第五章：平稳过程的谱分析（1）掌握平稳过程功率谱的定义及性质，会对简单的随机过程求其功率谱。（2）掌握功率谱与相关函数之间的关系。（3）掌握随机信号通过线性系统后输入信号与输出信号的功率谱之间的关系。（4）了解平稳过程的谱分解定理和采样定理。（5）了解窄带平稳随机信号的表示方式。第六章：高斯（Gauss
4、）过程（1） 掌握 n 维正态随机变量的分布密度、特征函数及基本性质。（ 2） 掌握正态过程的定义。了解窄带平稳实正态过程的表示法。（ 3） 了解正态马氏过程的概念，掌握正态实平稳过程实马氏过程的充要条件。（4）掌握维纳过程的定义，会求标准维纳过程的数字特征。会求偏移系数为卩，强度为& 2的维纳过程的相关函数。（5）了解维纳积分、Ito随机积分的定义和基本性质。会解简单的随机微分方程。典型复习题（1）设X,t 0是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为E X (s) X (t)二B (t - s), s 0，求方差函数 DX (t) - X (t + T) 0(2) 试证明：如果X (t),
5、t 0是一独立增量过程，且X(0)二0，那么它必是一个马 尔可夫过程0(3) 设随机过程W , t 0为零初值(W = 0 )的、有平稳增量和独立增量的过程，t0且对每个t 0，WN(RQ 21)，问过程W , t 0是否为正态过程，为什么？ tt(4) 设B 为为零初值的标准布朗运动过程，问次过程的均方导数过程是否存在？并t说明理由0(5) 设N , t 0是零初值、强度九 0的泊松过程。写出过程的转移函数，并问在均t方意义下，Y =N ds, t 0是否存在，为什么？t 0 s6)在一计算系统中，每一循环具有误差的概率与先前一个循环是否有误差有关，以0表示误差状态， 1 表示无误差状态，设
6、状态的一步转移矩阵为：p0001p10110.75 0.250.5 0.5试说明相应齐次马氏链是遍历的，并求其极限分布(平稳分布)07)设齐次马氏链& ,n 0 S = ,2,3,4 步转移概率矩阵如下:n/ 00001/21/21/2、1/2P=1/21/200J/21/200丿(a) 写出切普曼一柯尔莫哥洛夫方程(CK方程);(b) 求n步转移概率矩阵；(c) 试问此马氏链是平稳序列吗？为什么？(8)设 Y(t) = X(-1)N(t), t 0，其中N(t); t 0为强度为九0 的 Poission过程，随机变量 X 与此 Poission 过程独立，且有如下分布:PX =-a= PX
7、 =a=1/4, PX =0=1/2, a 0问：随机过程Y(t)，t 0是否为平稳过程？请说明理由。(9) 设X = X + 2Yt, t 0，其中X与Y独立，都服从N(0,b 2)t(a) 此过程是否是正态过程？说明理由。(b) 求此过程的相关函数，并说明过程是否平稳。(10) 设N , t 0是零初值、强度九=1的泊松过程。t(a) 求它的概率转移函数p(s,t,i, j) = PN = jN = i；ts(b) 令X = N -1, t 0，说明Y = 11X dt存在，并求它的二阶矩。t t 0 t11) 设一口袋中装有三种颜色(红、黄、白)的小球，其数量分别为3、4、3。现在不 断
8、地随机逐一摸球，有放回，且视摸出球地颜色计分：红、黄、白分别计 1、0、-1分。第一次摸球之前没有积分。以Y表示第n次取出球后的累计积分,n = 0,1,n(a) Y，n = 0,1,是否齐次马氏链？说明理由。n(b) 如果不是马氏链，写出它的有穷维分布函数族；如果是，写出它的一步转移 概率 p 和两步转移概率 p (2) 。ijij(c) 令e = minn; Y = 0, n 0，求Pt = 5。0n0( 考察两个谐波随机信号X (t)和Y(t)，其中：X (t) = A cos t + 0), Y(t) = B cos t)cc式中A和为正的常数；0是L兀,兀内均匀分布的随机变量，B是标
9、准正态分布c的随机变量。(a) 求X(t)的均值、方差和相关函数；(b) 若0与B独立，求X (t)与Y(t)的互相关函数。(13) 令谐波随机信号：X(t) = Acos t-0),式中为固定的实数；0是肛/内cc均匀分布的随机变量，考察两种情况：(a) 幅值A为一固定的正实数；(b) 幅值A为一与0独立，分布密度函数为上 0 的随机变量；b 2试问谐波随机信号在两种情况下是平稳的吗？(14) 设“(t)；t 0是一强度为九的Poission过程，记X(t)=()，试求随机过dt程 X(t) 的均值和相关函数。15) 研究下列随机过程的均方连续性，均方可导性和均方可积性。当均方可导时，试求
10、均方导数过程的均值函数和相关函数。(a) X (t) = At + B，其中A, B是相互独立的二阶矩随机变量，均值为a,b，方差 为 b 2Q 2 ；12(b) X(t) = At2 + Bt + C，其中A,B,C是相互独立的二阶矩随机变量，均值为a, b, c,方差为 G 2,G 2Q 2。123求下列随机过程的均值函数和相关函数,从而判定其均方连续性和均方可微性(1)(a) X(t) = tW, t 0，其中 W(t)是参数为 1 的 Wienner 过程。It丿(b) X(t) = W2(t), t 0，其中 W(t)是参数为G 2 的 Wienner 过程。讨论Wienner过程和
11、Poission过程的均方连续性、均方可导性和均方可积性。设有平稳随机过程X (t)，它的相关函数为R (T )= G 2 e 2t 2， 其中a q为常数,X求Y(t)二a(a为常数)的自协方差函数和方差函数。dt设有实平稳随机过程X，它的均值为零，相关函数为Rx C )，若Y(t) = f tX(s)ds，求Y(t)的自协方差函数和方差函数。0设 帚(t),t 0和 帚(t),t 0是参数分别为九和九的时齐Poission过程，证明1 2 1 2在N (t)的任一到达时间间隔内，N (t)恰有k个事件发生的概率为：12,k九(九丫1 2九+九(九+九丿1 2 1 2设随机振幅、随机相位正弦
12、波过程X二Vsin(t + 0), t 0，其中随机变量V和0 t相互独立，且有分布：(_1 0 1 )0 U 0丄，V 1/4 1/2 1/4 丿16)17)18)19)20)21)22)23)24)令：Yt - 0：如|X |迈/2t反之,t0试求过程Y , t 0的均值函数。t设有一泊松过程N(t),t 0，固定两时刻s,t，且s 0为零均值的标准布朗运动，a和b为两个待定的正常数(a丰1 )，问 在什么情况下aB (bt)仍为标准的布朗运动？说明理由。设有无穷多只袋子，各装有红球r只，黑球b只及白球w只。今从第1个袋子随机 取一球，放入第2个袋子，再从第2 个袋子随机取一球，放入第3
13、个袋子，如此继 续。令Rk1,当第k次取出红球0 , 反之,k -1,2,(a) 试求R的分布；k(b) 试证R 为马氏链，并求一步转移概率。k(25) 设有随机过程E (t)二Xt2 + Y, g t 0是初值为零标准布朗运动过程，试求它的概率转移密度函数tp(s, t, x, y) = f b(y|x)。t s)设有微分方程3 dX(t) + 2X (t)二W0(t)，初值X (0) = X为常数，W (t)是标准 dt000维纳过程，求随机过程X(t)在t时刻的一维概率密度。(28) 设给定随机过程X (t), t g T及实数x，定义随机过程1, X (t) x试将Y(t)的均值函数和自相关函数用过程X (t)的一维和二维分布函数来表示。(29) 设X (t),- t +是一个零均值的平稳过程，而且不恒等于一个随机变量，问X (t) + X (0), g t +则是否仍为平稳过程，为什么？(30) 设X(t)为平稳过程，其自相关函数R (t )是以T为周期的函数，证明：X(t)是X0周期为T的平稳过程。0典型复习题解答1) 解：由定义，有：D X (t) X (t + T) = D X (t) + D X (t + T) 2E X (t) EX (t
