《2020年高考数学一轮总复习 三角函数、三角形、平面向量 专题04 三角函数的应用 文（含解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年高考数学一轮总复习 三角函数、三角形、平面向量 专题04 三角函数的应用 文（含解析）（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题04三角函数的应用一、本专题要特别小心：1.图象的平移（把系数提到括号的前边后左加右减）2. 图象平移要注意未知数的系数为负的情况3. 图象的横坐标伸缩变换要注意是加倍还是变为几分之几4.五点作图法的步骤 5.利用图象求周期6.已知图象求解析式二【学习目标】1理解三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调性与周期性、对称性2会判断简单三角函数的奇偶性，会求简单三角函数的定义域、值域、最值、单调区间及周期3理解三角函数的对称性，并能应用它们解决一些问题三【方法总结】1.三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性的判断步骤一致：(1)首先看定义域是否关于原点对称；(2)在满足(1)后，再看f(x)与
2、f(x)的关系.另外三角函数中的奇函数一般可化为yAsin x或yAtan x，偶函数一般可化为yAcos xb的形式.2.三角函数的单调性(1)函数yAsin(x)(A0，0)的单调区间的确定，其基本思想是把x看作一个整体，比如：由2kx2k(kZ)解出x的范围，所得区间即为增区间.若函数yAsin(x)中A0，0，可用诱导公式将函数变为yAsin(x)，则yAsin(x)的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间.对函数yAcos(x)，yAtan(x)等单调性的讨论同上.(2)三角函数单调性的应用主要有比较三角函数值的大小，而比较三角函数值大小的一般步骤：先判断正负；利用奇偶性或周
3、期性转化为属于同一单调区间上的两个同名函数；再利用单调性比较.3.求三角函数的最值常见类型：(1)yAsin(x)B或yAtan(x)B，(2)yA(sin xa)2B，(3)ya(sin xcos x)bsin xcos x(其中A，B，a，bR，A0，a0).四【题型方法】（一）利用三角函数测量应用例1.如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，此时气球的高是，则河流的宽度等于( )AB CD 【答案】B【解析】记点正下方为，由题意可得，在中，由，得到；在中，由得到，所以河流的宽度等于米.故选B练习1. 习总书记在十九大报告中指出：必须树立和践行绿水青山就是金山银山的理念.某市为
4、贯彻落实十九大精神，开展植树造林活动，拟测量某座山的高.如图，勘探队员在山脚A测得山顶B的仰角为，他沿着倾斜角为的斜坡向上走了40米后到达C，在C处测得山顶B的仰角为，则山高约为_米.（结果精确到个位，在同一铅垂面）.参考数据：.【答案】【解析】过C做CMBD于M,CNAD于N,设BM=h,则CM=,解得h=20(),BD=h+20（二）与圆有关的三角函数应用例2. 如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为.图中阴影区域的面积的最大值为A4+4cosB4+4sinC2+2cosD2+2sin【答案】B【解析】观察图象可知，当P为弧AB的中点时，阴影部分的面积S取最
5、大值，此时BOP=AOP=-, 面积S的最大值为+SPOB+ SPOA=4+.故选：B.练习1如图，四边形内接于圆，若，则的最大值为（ ）ABCD【答案】C【解析】做于点E， 在直角三角形中，可得到根据该四边形对角互补得到在三角形ABD中，应用余弦定理得到 在三角形DCB中，应用余弦定理以及重要不等式得到进而得到 故答案为：C.练习2.位于潍坊滨海的“滨海之眼”摩天轮是世界上最高的无轴摩天轮，该摩天轮的直径均为124米，中间没有任何支撑，摩天轮顺时针匀速旋转一圈需要30分钟，当乘客乘坐摩天轮到达最高点时，距离地面145米，可以俯瞰白浪河全景，图中与地面垂直，垂足为点，某乘客从处进入处的观景舱，
6、顺时针转动分钟后，第1次到达点，此时点与地面的距离为114米，则（ ）A16分钟B18分钟C20分钟D22分钟【答案】C【解析】根据题意，作，如下图所示：直径为，则，所以则 所以，即所以因为摩天轮顺时针匀速旋转一圈需要30分钟所以从A到B所需时间为分钟所以选C练习3.定义在封闭的平面区域内任意两点的距离的最大值称为平面区域的“直径”.已知锐角三角形的三个顶点在半径为1的圆上，且，分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域，则平面区域的“直径”的最大值是_【答案】【解析】设三个半圆圆心分别为G,F，E，半径分别为M,P,N分别为半圆上的动点，则PM+GF= +=，当且仅当M,G,F
7、,P共线时取等；同理：PN MN,又外接圆半径为1，所以,BC=a=2sin=,由余弦定理解b+c2,当且仅当b=c=取等；故故答案为（三）模型的应用例3. 据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定的解析式为( )A BC D【答案】A【解析】因为3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，所以半周期，故，所以，又，所以 ，所以，当时，.，故选A.练习1. 国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律： (美元)(t(天)，)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当 (天)时达到最低
8、油价，则的最小值为_【答案】【解析】由最高油价为80美元知.由(天)时达到最低油价知，所以，又，所以的最小值为.练习2.为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路MON进行分流，已知穿城公路MON自西向东到达城市中心后转向方向，已知MON，现准备修建一条城市高架道路L，L在MO上设一出入口A，在ON上设一出口B，假设高架道路L在AB部分为直线段，且要求市中心与AB的距离为10km（1）求两站点A，B之间的距离；（2）公路MO段上距离市中心30km处有一古建筑群C，为保护古建筑群，设立一个以C为圆心，5km为半径的圆形保护区因考虑未来道路AB的扩建，则如何在古建筑群和市中心之间设计出入
9、口A，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区？【答案】（1）；（2）【解析】（1）过作直线OEAB于E，则OE10，设EOA，则EOB，（），故AE10tan，BE10tan（），AB10tan+10tan（）10（），又coscos（cos+sin）由，可得：2，故cos，当且仅当2，即时取等号，此时，AB有最小值为20（），即两出入口之间距离的最小值为20（）（2）由题意可知直线AB是以为圆心，10为半径的圆的切线，根据题意，直线AB与圆C要相离，其临界位置为直线AB与圆C相切，设切点为F，此时直线AB为圆与圆的公切线，因为，出入口A在古建筑群和市中心之间，如图所示，以为坐标原点，以所在的直
10、线为轴，建立平面直角坐标系，由CF5，OE10，因为圆的方程为x2+y2100，圆的方程为（x+30）2+y225，设直线AB的方程为ykx+t（k0），则：，所以两式相除可得：2，所以t20k，或t60k，所以，此时A（20，0）或A（60，0）（舍去），此时OA20，又由（1）可知当时，OA10，综上，OA即设计出入口A离市中心的距离在10km到20km之间时，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区练习3一半径为的水轮如图所示，水轮圆心距离水面；已知水轮按逆时针做匀速转动，每转一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间.（1）以水轮所在平面与水面的交线为轴，以过点且与水面垂直的直
11、线为轴，建立如图所示的直角坐标系，将点距离水面的高度表示为时间的函数；（2）点第一次到达最高点大约要多长时间？【答案】(1) (2) 【解析】（1）设，则， ，.，（2）令，得，点第一次到达最高点大约要的时间.练习4.已知某海滨浴场海浪的高度（米）是时间的（，单位：小时）函数，记作，下表是某日各时的浪高数据：（时）03691215182124（米）1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观察，的曲线，可以近似地看成函数的图象（1）根据以上数据，求出函数近似表达式；（2）依据规定，当海浪高度高于米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午时至晚上时之间，有多
12、少时间可供冲浪者进行运动？【答案】（1）；（2）从8点到16点共8小时.【解析】（1）设函数，同一周期内，当时，当时，函数的周期，得，且，又由题意得点是函数图象上的一个最低点，函数近似表达式为（2）由题意得，即，解得，即，在规定时间上午800时至晚上2000时之间，令，得，在规定时间上午800时至晚上2000时之间，从8点到16点共8小时的时间可供冲浪者进行运动（四）数学文化中的三角应用例4. 我国古代数学家僧一行应用“九服晷（gu）影算法”在大衍历中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即已知天顶
13、距时，晷影长现测得午中晷影长度，则天顶距为（ ）（参考数据：，）ABCD【答案】B【解析】，且顶距时，晷影长，当晷影长度，故选：B练习1我国古代数学家刘徽于公元263年在九章算术注中提出“割圆术”：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣.即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为，那么用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值可表示成（ ）ABCD【答案】A【解析】令圆的半径为1，则圆内接正边形的面积为，圆内接正边形的面积为，用圆的内接正边形逼近圆，可得；用圆的内接正
14、边形逼近圆，可得；所以.故选A练习2“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明如图所示的“勾股圆方图” 中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形 若直角三角形中较小的锐角为，现已知阴影部分与大正方形的面积之比为，则锐角（ ）ABCD【答案】D【解析】设 大正方形的边长为a,小正方形边长为b,则=b,阴影三角形面积为小正方形面积为又阴影部分与大正方形的面积之比为所以整理得1-,解得故选：D（五）三角形中的三角函数例5. 某小区拟对如图一直角ABC区域进行改造，在三角形各边上选一点连成等边三角形,在其内建造文化景观。已知,则面积最小值为_【答案】【解析】因为，所以，显然，
