《全等三角形辅助线系列之三截长补短类辅助线作法大全》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全等三角形辅助线系列之三截长补短类辅助线作法大全（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、全等三角形辅助线系列之三与截长补短有关的辅助线作法大全一、截长补短法构造全等三角形截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解截长补短法作辅助线，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目典型例题精讲【例1】如图，在ABC中，ZBAC，60o,AD是
2、ZBAC的平分线，且AC，ABBD,求上ABC的度由AC，ABBD知AE，AC,而ZBAC，60o,则AEC为等边三角形.注意到ZEAD，ZCAD,AD，AD,AE，AC,故AED9ACD.从而有DE，DC,ZDEC，ZDCE,故ZBED，ZBDE，ZDCEZDEC，2ZDEC.所以ZDEC，ZDCE，20,ZABC，ZBECZBCE，60+20，80。.法二：在AC上取点E，使得AE，AB，则由题意可知CE，BD.在ABD和AED中，AB，AE，ZBAD，ZEAD，AD，AD，则ABD竺AED，从而BD，DE，进而有DE，CE，ZECD，ZEDC，ZAED，ZECD+ZEDC，2ZECD.注
3、意到ZABD，ZAED，贝0：13ZABC+ZACB，ZABC+-ZABC，-ZABC，180。一ZBAC，120,22故ZABC，80.答案】见解析CE交于点O，试判【例2】已知ABC中，ZA，60。,BD、CE分别平分ZABC和.ZACB,BD、断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明EODBC【解析】BECD，BC,理由是：在BC上截取BF，BE，连结OF,禾U用SAS证得BEO竺BFO，二Z1，Z2,TZA，60,:.ZBOC，90。+-ZA，120，二ZDOE，120,2ZA+ZDOE，180,二ZAEO+ZADO，180,Z1+Z3，180,Z2+Z4，180,Z1，Z2,Z3，Z
4、4,利用AAS证得CDO竺CFO,CD，CF,BC，BF+CF，BE+CD.答案】见解析AOD423【例3】如图，已知在ABC内，ZBAC，60,ZC，40,P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是/BAC、/ABC的角平分线，求证：BQ+AQ，AB+BP.#/11ABQPC【解析】延长AB至6使BDBP，连DP.在等腰ABPD中，可得ZBDP40。,从而ZBDP40，ZACP,ADP里HACP(ASA)，故AD=AC又ZQBC40。ZQCB，故BQ=QC,BD=BP.从而BQ+AQAB+BP.答案】见解析.【例4】如图，在四边形ABCD中，BCBA,AD=CD,BD平分ZABC,求证：
5、ZA+ZC=180。.ADBC【解析】延长BA至尸，使BFBC，连FDBDFABDC(SAS),故ZDFBZDCB,FD=DC又ADCD，故在等腰ABFD中,ZDFB=ZDAF故有ZBAD+ZBCD180。答案】见解析.#/11【例5】点M,N在等边三角形ABC的AB边上运动，BD=DC,ZBDC=120。,ZMDN=60。，求证：MNMB+NC.CB1D【解析】延长NC至E，使得CEMBtBDC是等腰三角形，且ZBDC120，,二ZDBC=ZDCB=30，TABC是等边三角形.ZMBDZABC+ZDBC=ZACB+ZDCB=ZDCN=ZDCE=90，在DBM和DCE中，BDDC，MBCE，D
6、BM9DCE.又Z1+ZNDC60，,Z2+ZNDC=ZEND=60，.在MDN与EDN中，NDND,ZMDNZEDN=60，,DE=DM MND9END MNENNC+MBC12ED【例6】如图在ABC中，ABAC,Z1=Z2,P为AD上任意一点，求证:#/11【解析】延长AC至厂使AFAB，连PDABP里ZFP(SAS)故BPPF由三角形性质知PB-PC=PF-PCCF=AF-AC=AB-AC答案】见解析【例7】如图，四边形ABCD中，AB/DC,BE、CE分别平分/ABC、/BCD，且点E在AD上.求证：BC=AB,DC.BAECD【解析】在BC上截取BFAB，连接EF:BE平分AABC
7、,ZABE=ZFBE又:BE=BEABE里“FBE(SAS),ZA=ZBFE.vAB/CD,ZA,ZD=180TZBFE,ZCFE=180,ZD=ZCFE又vZDCE=ZFCE,CE平分/BCD,CE=CEDCE里“FCE(AAS),CD=CFBC=BF,CF=AB,CD答案】见解析.#/11【例8】如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MN丄DM且与ZABC外角的平分线交于点N，MD与MN有怎样的数量关系？DCDC#/11#/11【解析】猜测DM=MN在AD上截取AG=AM,DG=MB,二ZAGM=45，ZDGM=ZMBN=135，,ZADM=ZNMB,ADGM9AMSN,DM=MN
8、.答案】见解析例9】已知：如图，ABCD是正方形，FAD=FAE求证：BE+DF=AE.DADEMBE【解析】延长CB至M，使得BM=DF，连接AM.TAB=AD,AD丄CD,AB丄BM,BM=DF AABM9AADFAFD=AMB,DAF=BAMTABCD AFD=BAF=EAF+BAE=BAE+BAM=EAM AMB=EAM,AE=EM=BE+BM=BE+DF答案】见解析.【例10】如图所示，已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且BAE=2DAM.求证：AE=BC+CE.ADMEBC解析】分析证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种：(1)通过添辅助线“构造”一条线段使
9、其为求证中的两条线段之和，再证所构造的线段与求证中那一条线段相等(2)通过添辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段相等我们用(1)法来证明【答案】延长AB到F，使BFCE，则由正方形性质知AF=AB+BF=BC+CE下面我们利用全等三角形来证明AE=AF为此,连接EF交边BC于G.由于对顶角,BGF,CGE，所以RtDBGF今CGE(AAS，从而BGGC1BC,FG=EG，BG=DM2于是RtDABG今RtDADM(SAS，所以,BAG,DAM,1BAE=,EAG，AG是,EAF的平分线2BFDMEC【例11】五边形ABCDE中，ABAE,BC
10、+DE=CD,ABC+ZAED=180。,求证:AD平分/CDE.ABECD【解析】延长DE至尸，使得EFBC，连接AC.T,ABC+ZAED180。,AEF+ZAED=180。，二,ABC=,AEFTABAE,BCEFABC里7EF.EFBC,ACAFTBC+DECD,CDDE+EF=DF.ADCMADF,ADC=,ADF即AD平分ZCDE.答案】见解析.#/11ACD【例12】若P为ABC所在平面上一点，且ZAPB，ZBPC，乙CPA，120。，则点P叫做ABC的费马点.(1) 若点P为锐角ABC的费马点，且ZABC，60。,PA，3,PC，4,则PB的值为；(2) 如图，在锐角ABC外侧
11、作等边ACB,连结BB求证：BB，过ABC的费马点P，且BB，PAPBPC.ABB【解析】(1)2占(2)证明：在BB，上取点P，使ZBPC，120。,连结AP，再在PB，上截取PE，PC，连结CE/ZBPC，120。，：ZEPC，60。，：PCE为正三角形，PC，CE,ZPCE，60。,ZCEB，120。,/ACB，为正三角形，AC，B，C,ZACB，60。,ZPCAZACE，ZACEZECB，60。，:ZPCA，ZECB，,ACP今BCE，：ZAPC，ZBCE，120。,PA，EB，,ZAPB，ZAPC，ZBPC，120。,P为ABC的费马点，BB过ABC的费马点P，且BB，EB，PBPE
12、，PAPBPC.答案】见解析BE#/11课后复习【作业1】已知，AD平分/BAC,ACAB+BD,求证：,B=2,C.ABD【解析】延长AB至点E,使AEAC，连接DE:AD平分ABAC,EAD=,CADTAEAC,ADAD,AED里CD(SAS),E=,CTACAB+BD,AEAB+BD-AEAB+BE,BD=BE,BDE=,ET,ABC,E+ZBDE,ZABC2,E,ZABC=2,C.【答案】见解析ABDECD丄AC.A【作业2】如图，ABC中，AB2AC,AD平分ZBAC,且AD=BD，求证:B【解析】在AB上取中点F，连接FD.ADB是等腰三角形，F是底AB的中点，由三线合一知DF丄A
13、B，故AFD=90，ADFhADC(SAS)ACD=AFD=90，,即：CD丄AC答案】见解析【作业3】如图所示，AABC是边长为1的正三角形，ABDC是顶角为120，的等腰三角形，以D为顶点作一个60，的MDN，点M、N分别在AB、AC上,求AAMN的周长.【解析】如图所示，延长AC到E使CE=BM.在ABDM与ACDE中，因为BD=CD,MBD=ECD=90，,BM=CE,所以ABDM竺ACDE，故MD=ED.因为BDC=120，,MDN=60，所以BDMNDC=60，.又因为BDM=CDE，所以MDN=EDN=60，.在AMND与AEND中，DN=DN,MDN=EDN=60，,DM=DE,所以AMND9AEND，则NE=MN，所以AAMN的周长为2.答案】见解析#/11g7n工Ho和HHO;guHgu、自93。06工HU7HSUN.-gpTm.匕ffiwl、囹H忌迪、工宙Tpxw【議】pQ倒+GVHSV百長OOSIHQN+gNdxTguGYgNOTtu丫京nJ
