《高数知识汇总》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数知识汇总（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高数知识汇总之微分方程（总4页）-本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-内页可以根据需求调整合适字体及大小-第六章微分方程微分方程： 含有未知函数的导数(或微分)的等式称为微分方程。微分方程的阶： 微分方程中，所含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶。微分方程的通解： 如果微分方程的解这中含有任意常数，且任意个不相关的常数的个数与微分方 程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。微分方程的特解： 在通解中给予任意常数以确定的值而得到的解，称为特解。初始条件： 用于确定通解中的任意常数而得到特解的条件称为初始条件。积分曲线： 微分方程的特解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线。一阶微
2、分方程的求解方法分离变量法可分离变量的微分方程：形如dL二f (x)g(y)的微分方程，称为可分离变量的微分方程。dx特点：等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个是只含有x的函数，另一个是只含有y的函数.解法：当g(y)丰0时，把dy二f (X)g(y)分离变量为冬 =f (x)dx,(g(y)丰0)对上式两dxg( y)边积分，得通解为J仝 =f (x)dx + Cg(y)(这里我们把积分常数C明确写出来，而把(止,I f (x)dx分别理解为丄g(y)g( y)和f (x)的一个确定的原函数。)齐次方程和可化为齐次方程的一阶方程不考。一阶线性微分方程一阶线性微分方程：如果一阶微分方程F(
3、x, y, y) = 0可以写为yr + p(x)y = q(x)则称之为一阶线性微分方程，其中p(x)、q(x)为连续函数当q(x)三0时，此方程为孚+ p(x)y二0，称它为对应于非齐次线性方程的齐次线性微分方程；当 dxq(x) = 0时，称为非齐次线性微分方程。解法：用常数变易法可得其通解为：y = ep(x)dx (f q(x)ep(x)dxdx + c)(注：其中每个积分，不再加任意常 数 C。)可降阶的二阶微分方程不显含未知函数y的二阶方程：y = f(x, y)解法：() y - dpdp令y - p - p(x)，则y 一 dx，方程变为dx - f(x, P)，解之得P，再
4、积分得 y - f p(x)dx ，即得通解。不显含自变量x的二阶方程：y- f (y, y )解法：dpdp令y = p=p (y)，则y - dy p，方程变为py - f p)，解之得p，再积 分得通解。二阶线性微分方程6.5.1 二阶线性微分方程的解的结构二阶线性微分方程：形如y + p(x)y + q(x)y - f (x)的方程，称为二阶线性微分方程。若f (x)三0，称之为二阶齐次线性微分方程；若f (x)壬0，称之为二阶非齐次线性微分方 程。齐次线性方程解的叠加原理：如果函数y, y是齐次方程y+p(x)y+q(x)y = 0的两个解，则12y 二 C1 人+ C2 y2也是方
5、程y+p(x)y+q(x)y = 0的解，其中C,C均为任意常C1 C 2数。齐次线性方程的通解结构： 如果函数y (x), y (x)是齐次方程y+p(x)y+q(x)y = 0的两个线性无关解,12则函数y = q乂 + C2y2 (c , c为任意常数)是方程y+p(x)y+q(x)y = 01 1 2 2 1 2 的通解。非齐次线性方程的通解结构：如果 y *是方程 y+p(x)y+q(x)y = f (x)的一个特解，y 二 c y + c y1 1 2 2是方程y + p(x)y + q(x)y二f (x)的通解，则y = Y + y* = C y + C y + y * 是方程
6、y + p(x)y + q(x)y = f (x)的1 1 2 2 通解。线性微分方程的解的叠加原理：若 y，y2* 分别是方程 y+p(x)y+q(x)y = 4(x)，y + p(x)yf + q(x)y =x)的特解，则 y = y+ y2* 是方程y + p(x)y + q(x)y = f (x) + f (x)的特解。12 二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程：y + y + qy = 0 其中 p，q是常数。5特征方程与特征根：根据y + py + qy = 0，可得r2 + pr + q = 0。只要r的值能使r2 + pr + q = 0式成立。那么y = e
7、rx就是y + py + qy = 0的解，称r2 + pr + q = 0为 y+ py+ qy = 0的特征方程，称r 2 + pr+q = 0的根丫2为方程特征根。二阶常系数齐次线性微分方程的通解：特征方程r2 + pr + q = 0的两个特征根r, r1 2微分方程y + py + qy = 0的通解r丰r12r = r12r = a i 卩1.2y = c er1 x + c e r2 x1 2y = (c + c x) er1 x1 2y = eax (c cos |3x + c sin px)1 2二阶常系数非齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程：形如y + py +
8、 qy = f (x)(其中p,q均为常数，f (x)丰0 )的方程，称为二阶常系 数非齐次线性微分方程。二阶常系数非齐次线性微分方程的通解：y + py + qy = f (x)的通解应该为 y = Y + y*, 丫为 y + py + qy = f (x) 对应齐次线性方程：y + py + qy = 0的通解，y *为y + py + qy = f (x)的 一个特解。二阶常系数非齐次线性微分方程的特解：f (x )的两种形式是：i. f(0 = p (x) e xx,几是常数。Jmp_ (x)是x的一个 m次多项式：p (x) =a xm + a xm-1 + + a x + amm
9、01m-1m。y* = xk Qm(x) e心的特解，其中Q (x)是与p (x)同次的多项式。mmm九不是特征根 九是单特征根 九为重特征根 二 e九xP (x)cos3x + P (x)sin 3x其中.0, k =1,22. f (x)y+py+qy=f (x)具有如下形式的特解：匕(x).p (x)分别是1次、n次多项式，其中有一个可为零。lny + py + qy = f (x)具有如下形式的特解：y* = xk e 叫 R(i)( x )cos 3x + R(2)( x )sin 3x mm其中：R(1)(x), R(2)(x)是 m 次多项式,m=maxn, 10,九+ io （或九-io）不是特征根 k= 1,九+ io （或X- io ）是特征根
