《专题06 圆（学生版）-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题06 圆（学生版）-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题06 圆 【知识点梳理】知识点1：直线与圆的位置关系设有直线和圆心为且半径为的圆，怎样判断直线和圆的位置关系？ 图1观察图1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离时，直线和圆相离，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相切，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相交，如圆与直线. 图2在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、B.若直线经过圆心，则AB为直径；若直线不经过圆心，如图2，连结圆心和弦的中点的线段垂直于这条弦.且在中，为圆的半径，为圆心到直线的距离，为弦长的一半，根据勾股定理，有. 图3当直线与圆相切时，如图3，为圆的切线，可得，且在中，. 图4如图4，为圆的切
2、线，为圆的割线，我们可以证得，因而.知识点2：点的轨迹在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于；同时，到定点的距离等于的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长的点的轨迹.我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：(1)图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；(2)图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上.下面，我们讨论一些常见的
3、平面内的点的轨迹.从上面对圆的讨论，可以得出：到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹：和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线.由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹：到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线.【题型归纳目录】题型一：直线与圆的位置关系题型二：点的轨迹【典例例题】题型一：直线与圆的位置关系例1如图，在中，以为直径作，在上取一点，使，过点作，交的延长线于点，交的延长线
4、于点(1)求证：直线是的切线；(2)若，求的长例2如图，是的直径，C，D都是上的点，平分，过点D作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F(1)求证：是的切线；(2)若，求的值例3如图，是的直径，C是上一点，过点C作的切线，于点D，延长交于点E，连接(1)求证：；(2)若，求的半径长变式1如图，内接于，是的直径，过上的点作，交的延长线于点，交于点，过点作的切线交于点(1)求证：；(2)若的半径为，求的长变式2如图，中，点为上一点，以点为圆心，以为半径的切于点，连接(1)求证：；(2)若，求的长变式3如图，在中，点D为边的中点，以为直径作，分别与交于点E、F，过点E作于G (1)求证：是的切线；
5、(2)若，的半径为5，求的长变式4如图，要把残缺的圆片复原，可通过找到圆心的方法进行复原，已知弧上的三点A，B，C(1)用尺规作图法，找出弧所在圆的圆心O；(保留作图痕迹，不写作法)(2)在中，连接交于点E，连接，当时，求图片的半径R；(3)若直线l到圆心的距离等于，则直线l与圆_(填“相交”“相切”或“相离”)题型二：点的轨迹例4综合与实践课上，老师让同学们以“矩形与垂直”为主题开展数学活动(1)操作判断如图1，正方形纸片，在边上任意取一点，连接，过点作于点，与边交于点根据以上操作，请直接写出图1中与的数量关系：_(2)迁移探究小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下：如图2，在矩形
6、纸片中，在边上任意取一点，连接，过点作于点，与边交于点，请求出的值，并说明理由；(3)拓展应用如图3，已知正方形纸片的边长为，动点由点向终点做匀速运动，动点由点向终点做匀速运动，动点、同时开始运动，且速度相同，连接、，交于点，连接，则线段长度的最小值为_，点的运动轨迹的长为_(直接写出答案不必说明理由)例5综合与实践课上，老师让同学们以“矩形与垂直”为主题开展数学活动(1)操作判断如图1，正方形纸片，在边上任意取一点，连接，过点作于点，与边交于点根据以上操作，请直接写出图1中与的数量关系：_(2)迁移探究小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下：如图2，在矩形纸片中，在边上任意取一点，
7、连接，过点作于点，与边交于点，请求出的值，并说明理由(3)拓展应用如图3，已知正方形纸片的边长为2，动点由点向终点做匀速运动，动点由点向终点做匀速运动，动点、同时开始运动，且速度相同，连接、，交于点，连接，则线段长度的最小值为_，点的运动轨迹的长为_(直接写出答案不必说明理由)变式6“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了“筒车”的工作原理如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米(即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离)(1)求该圆的半径；(2)若水面上涨导
8、致圆被水面截得的弦从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？变式6如图：在平面直角坐标系中，点A、B、C都在格点上(1)画出关于原点对称的，并写出A、B、C三点关于原点对称的坐标、(2)画出绕原点O顺时针方向旋转90得到的并求点A运动到的轨迹的弧长【过关测试】一、单选题1已知线段的中点为，动点满足，则点的轨迹是()A以为直径的圆B的延长线C的垂直平分线D平行的直线2如图，在矩形ABCD中，BC=2，将边BC绕点C按顺时针方向旋转一定角度，点B刚好落在边AD的中点E上，则点B的运动轨迹长为()ABCD无法确定3如图，点、在上，则点到的距离是()ABC2D34如图，点A，B，C在上
9、，若，则等于()A100B110C120D1405如图，四边形内接于连接，若，则()A150B140C130D1206如图，点是的内心，过点作分别交于点，已知的周长为8，的周长为，则表示与的函数图象大致是()A B C D7如图，的两条角平分线相交于O点，点P，Q分别为AC，BC上的点，且，甲、乙、丙三人有如下判断：甲：；乙：四边形OPCQ的面积是定值；丙：当时，的周长和面积均取得最小值则下列说法正确的是()A甲正确，乙、丙错误 B甲、乙正确，丙错误 C甲错误，乙、丙正确 D甲、乙、丙都正确8在中，以为直径的与边交于点D，点E在上，且，若，则的半径为()ABCD9如图，在中，点在边上，过的内心
10、作于点若，则的长为()A6B7C8D910如图所示，内接于，点M为的内心，若，则的度数是()ABCD二、填空题11如图，直线与相切于点，过圆上一点作的垂线，垂足为，垂线段交于另一点，已知半径为3，则弦的长为 12如图，直线是的切线，C为切点，交于点D，点E在上，连接，则的度数为_13已知内接于，它的内心为点D，连接交弦于点E，交于点F，已知，则线段的长为_14如图，是内接四边形的一个外角，若，则的大小为_15如图，在中，以边的中点O为圆心，作半圆与相切，点P，Q分别是边(包括端点)和半圆上的动点，连接，则长的最大值与最小值的差是_三、解答题16如图，是的外接圆，过点作，交于点，交于点，过作的切线，与的延长线相交于点(1)求证：(2)若的半径为2，求的长17如图，是直径，是的一条弦，连接，(1)求证：(2)点C是上一点，射线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，连接，若O的半径为5，长为6，求的长第 13 页 共 13 页
