《专题15 等式性质与不等式性质（教师版）-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题15 等式性质与不等式性质（教师版）-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题15 等式性质与不等式性质【知识点梳理】知识点一、符号法则与比较大小实数的符号：任意，则(为正数)、或(为负数)三种情况有且只有一种成立.两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：两个同号实数相加，和的符号不变符号语言：；两个同号实数相乘，积是正数符号语言：；两个异号实数相乘，积是负数符号语言：任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：，.比较两个实数大小的法则：对任意两个实数、；.对于任意实数、，三种关系有且只有一种成立.知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系.它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据.知识点二、不等式的性质不等式的性质可分为基
2、本性质和运算性质两部分基本性质有：(1)对称性：(2)传递性：(3)可加性：(cR)(4)可乘性：ab，运算性质有：(1)可加法则：(2)可乘法则：(3)可乘方性：知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.知识点三、比较两代数式大小的方法作差法：任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小.；.作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小.；.中间量法：若且，则(实质是不等式的传递性).一般选择0或1为中间量.【题型归纳目录】题型一：用不等式(组)表示不等关系题型二：作差法、作商法比较两数(式)的大小题型三：利用不等式的性质判断命题真假
3、题型四：利用不等式的性质证明不等式题型五：利用不等式的性质比较大小题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围【典例例题】题型一：用不等式(组)表示不等关系例1铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c(单位：cm)，这个规定用数学关系式可表示为()A且B且C且D且【答案】C【解析】由长、宽、高之和不超过130cm得，由体积不超过得.故选：C.例2将一根长为的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m，若两段绳子长度之差不小于，则所满足的不等关系为()AB或CD【答案】D【解析】由题意,可
4、知另一段绳子的长度为.因为两段绳子长度之差不小于，所以，化简得：.故选：D例3下列说法正确的是()A某人月收入x不高于2 000元可表示为“xa”D小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“xy”【答案】B【解析】对于A，某人收入x不高于2000元可表示为，A错误；对于B，变量y不超过a可表示为，B正确；对于C，变量x至少为a可表示为，C错误；对于D，小明身高，小华身高，小明比小华矮表示为，D错误.故选：B.变式1完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工人，瓦工人，则请工人满足的关系式是()ABCD【答案】D【
5、解析】依题意，请工人满足的关系式是，即.故选：D变式2在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外(含100米)为安全区为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x(单位：厘米)应满足的不等式为()ABCD【答案】B【解析】由题意知导火索的长度x(单位：厘米)，故导火索燃烧的时间为秒，人在此时间内跑的路程为米，由题意可得故选：B变式3在数轴上点对应的数分别是，点在表示和的两点之间(包括这两点)移动，点在表示和0的两点(包括这两点)之间移动，则以下四个代数式的值，可能比2021大的是()ABCD【答案】D【解析】由题意.可知：而是负数，只
6、有的值可以超过2021，如，故选：D.题型二：作差法、作商法比较两数(式)的大小例4比大小：_【答案】【解析】因为，所以，因为，所以，所以.故答案为：.例5已知，则的大小关系是_【答案】【解析】由于，所以.故答案为：例6已知，则与的大小关系为_【答案】/【解析】因为，所以，所以.故答案为：变式4设、为实数，比较两式的值的大小：_ (用符号或=填入划线部分)【答案】【解析】因为，时等号成立，所以故答案为：变式5，则的大小关系为_【答案】【解析】因为， 则 由 所以 故答案为：变式6如果，那么，从小到大的顺序是_【答案】【解析】因为三个式子很明显都是负数，所以，所以；同理，所以。综上：故答案为：题
7、型三：利用不等式的性质判断命题真假例7(多选题)如果满足，且，那么下列不等式中一定成立的是()ABCD【答案】ABD【解析】由实数满足，且，可得，对于A中，由，可得，所以A正确；对于B中，由，可得，因为，所以，所以B正确；对于C中，当，则，可得，所以C不正确；对于D中，由，可得，因为，所以，所以D正确.故选：ABD.例8(多选题)下列命题为真命题的是()A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】BD【解析】对于A，当时，不等式不成立，故A是假命题；对于B，若，则，所以，故B是真命题；对于C，若，则，所以，故C是假命题；对于D，若，则成立，故D是真命题.故选：BD.例9(多选题)已知R，则下列结论
8、正确的是()A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】ABD【解析】对于A：因为，所以，所以，故A正确；对于B：因为，所以，两边同乘以得，故B正确；对于C：因为，所以，所以，又，两式相乘得 ，故C错误；对于D：,因为，所以,所以，所以，故D正确.故选：ABD变式7(多选题)下列不等式成立的是()A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】BD【解析】对于A，当时，则，故A错误；对于B，由，则，故B正确；对于C，当，则，故C错误；对于D，由，则，所以，故D正确故选：BD变式8(多选题)若是不为0的实数，且，则下列不等式一定成立的是()ABCD【答案】BD【解析】对于A，当，时，故A不正确；对于B，因为
9、，即，故B正确；对于C，当时，故C不正确；对于D，由可得或或，当时，则，故，即，当时，则，故，当时，则，所以由可得，故D正确.故选：BD变式9(多选题)若，则下列不等式成立的是()ABCD【答案】AD【解析】对于A，由，则，故A正确；对于B，由，所以，故B错误；对于C，由，可得，所以，所以，故C错误；对于D，由，则，即，故D正确.故选：AD.题型四：利用不等式的性质证明不等式例10证明下列不等式：(1)已知，求证(2)已知，求证：【解析】(1)证明：，又因为，即，所以.(2)证明：，；又，；.例11(1)比较与的大小(2)已知，求证：；【解析】(1)，所以.(2)因为，所以，所以，所以，即.例
10、12证明不等式(1)，bd0，求证：；(2)已知abc0，求证：【解析】(1)证明：，因为，所以，又bd0，所以，即.(2)证明：因为abc0，所以有，则，即有，成立；因为，所以，又，所以，成立.所以，有.变式10阅读材料：(1)若，且，则有(2)若，则有请依据以上材料解答问题：已知a，b，c是三角形的三边，求证：【解析】因为a，b，c是三角形的三边，则，由材料(1)知，同理，由材料(2)得：，所以原不等式成立.变式11已知，求，的取值范围【解析】因为，所以又，所以，即因为，所以，因为，所以所以，即所以的取值范围是，的取值范围是题型五：利用不等式的性质比较大小例13已知，则下列结论不正确的是(
11、)ABCD【答案】C【解析】ab，cd，acbd，故A正确；ab0，cd0，acbd，故B正确；取，则，此时，故C错误； cd0，则，又ab0，则，故D正确故选：C例14若，则()ABCD【答案】D【解析】对于A，C，令，满足，而，AC错误；对于B，令，B错误；对于D，D正确.故选：D例15设、为实数，且，则下列不等式正确的是()ABCD【答案】D【解析】因为、为实数，且，所以，故A错误，D正确；当时，故B错误，因为，所以，故C错误；故选：D变式12若，一定成立的是()ABCD【答案】A【解析】若，则，故A正确；当时，故BC错误；当时，故C错误.故选：A.变式13已知，且，则下列结论中正确的是
12、()ABCD【答案】A【解析】由，且，可得，A正确；取，满足条件，但，B错误；取，满足条件，但，C，D错误；故选：A变式14下列命题为真命题的是()A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】B【解析】对于A，若，则，当时不成立，故A错误；对于B，若，所以，则，故B正确；对于C，若，则，取，计算知不成立，故C错误；对于D，若，则，取，计算知不成立，故D错误.故选：B.题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围例16已知，则的取值范围是_【答案】【解析】由题意，在中，解得：，故答案为：.例17若，满足，则的取值范围是_【答案】【解析】因为，所以，又，故答案为：例18已知，则的取值范围是_.【答案
13、】【解析】，.故答案为：.变式15已知，则的取值范围是_【答案】【解析】设，所以，解得，因为，则，因此，.故答案为：.变式16若，则的取值范围是_.【答案】【解析】令，则，解得，因为，故.故答案为：变式17已知，则的取值范围是_.【答案】【解析】由题意可得，因为，所以，故，即的取值范围是，故答案为：变式18若、满足，则的取值范围是_【答案】【解析】因为，则，且，所以，所以，.故的取值范围是.故答案为：.变式19若实数，满足，则的取值范围为 _【答案】【解析】由不等式的性质求解即可，因为实数，满足，所以，即的取值范围为故答案为：【过关测试】一、单选题1已知，则的取值范围是()ABCD【答案】C【解析】,，又，
