《专题20 幂函数（学生版）-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题20 幂函数（学生版）-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题20 幂函数 【知识点梳理】知识点一：幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中为常数知识点诠释：幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量x，系数为1，指数为常数例如：等都不是幂函数知识点二：幂函数的图象及性质1、作出下列函数的图象：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)知识点诠释：幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的幂函数在(0，+)都有定义，并且图象都过点(1，1)；(2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；(3)时，幂函数的图象在区间上是减函数在第一象限内，
2、当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴2、作幂函数图象的步骤如下：(1)先作出第一象限内的图象；(2)若幂函数的定义域为或，作图已完成；若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象；如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象3、幂函数解析式的确定(1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值(2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征(3)如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即4、幂函数值大小的比较(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0
3、和1进行比较常称为“搭桥”法(2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小(3)常用的步骤是：构造幂函数；比较底的大小；由单调性确定函数值的大小【题型归纳目录】题型一：幂函数的概念题型二：幂函数的图象的应用题型三：幂函数的单调性题型四：幂函数的奇偶性题型五：幂值大小的比较题型六：定点问题题型七：定义域问题题型八：值域问题题型九：解不等式问题题型十：幂函数综合问题【典例例题】题型一：幂函数的概念例1下列函数为幂函数的是()ABCD例2下列函数是幂函数的是()ABCD例3在函数，中，幂函数的个数为()A0B1C2D3变式1已知幂函数的图像经过点，则的值为()AB
4、CD变式2已知幂函数的图象过点，则等于()AB0CD1变式3已知幂函数在上是减函数，则n的值为()AB1C3D1或变式4函数是幂函数，且在上单调递增，则 ()ABC或D或题型二：幂函数的图象的应用例4如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是()A，B，C，D，例5若点在幂函数的图象上，则的图象大致是()A B CD例6已知幂函数(且互质)的图象关于y轴对称，如图所示，则()Ap，q均为奇数，且 Bq为偶数，p为奇数，且Cq为奇数，p为偶数，且 Dq为奇数，p为偶数，且变式5已知幂函数的图象经过点，则的大致图象是()ABCD变式6已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是()AB
5、CD题型三：幂函数的单调性例7下列函数中，在区间上为增函数的是()ABCD例8下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是()ABCD例9已知幂函数的图象经过点，则在定义域内()A单调递增B单调递减C有最大值D有最小值变式7下列函数中，在区间上是增函数的是()ABCD变式8函数的单调递减区间为()ABCD变式9已知函数的增区间为()ABCD变式10幂函数是奇函数，且在是减函数，则整数a的值是()A0B0或2C2D0或1或2变式11已知幂函数的图像过点，则对的表述正确的有()A是奇函数，在上是减函数B是奇函数，在上是增函数C是偶函数，在上是减函数D是偶函数，在上是减函数题型四：幂函数的奇偶性例1
6、0幂函数的图象过点，则关于该幂函数的下列说法正确的是()A经过第一象限和第三象限B经过第一象限C是奇函数D是偶函数例11已知幂函数的图像过点，则( )A是奇函数，在上是减函数B是偶函数，在上是减函数C是奇函数，在上是增函数D是偶函数，在上是减函数例12若幂函数的图象关于轴对称，则()A或4BC4D2变式12若幂函数的图象关于y轴对称，解析式的幂的指数为整数, 在上单调递减，则()AB或CD或变式13已知常数在上有最大值，若的最小值为，则()A0B3C4D5题型五：幂值大小的比较例13)已知幂函数，对任意的且，满足，若，则的值()A恒大于0B恒小于0C等于0D无法判断例14已知，则下列不等关系中
7、一定成立的是()ABCD例15已知，则()ABCD变式14设，则()ABCD变式15下列比较大小中正确的是()ABCD题型六：定点问题例16当时，函数的图象恒过定点A，则点A的坐标为_例17已知，则函数的图象恒过的定点的坐标为_例18幂函数的图像恒过定点_变式16有关幂函数的下列叙述中，错误的序号是_幂函数的图像关于原点对称或者关于轴对称；两个幂函数的图像至多有两个交点；图像不经过点的幂函数，一定不关于y轴对称；如果两个幂函数有三个公共点，那么这两个函数一定相同变式17已知函数(为不等于0的常数)的图象恒过定点P，则P点的坐标为_.变式18不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是_题型七：定义域问
8、题例19已知幂函数，则此函数的定义域为_例20幂函数的定义域是_例21已知幂函数的定义域为，则实数_变式19函数的定义域是_变式20若有意义，则实数的取值范围是_变式21已知，则的定义域为_.题型八：值域问题例22函数在区间4，2上的最小值是_例23函数的值域为_.例24若幂函数的图象过点，则的值域为_变式22已知，设函数，其定义域为或，则函数的最小值为_.变式23已知幂函数，该函数的值域为_.变式24已知幂函数的图象过，那么在上的最大值为_.题型九：解不等式问题例25已知函数，若，则实数的取值范围是()ABCD例26已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围为()ABCD例27已知幂函数过点，则
9、的解集为()ABCD变式25不等式的解为()ABCD变式26若,则实数的取值范围是()ABCD变式27若，则实数a的取值范围是( )A，)B(，C(，D，变式28已知幂函数，若，则的取值范围为()ABCD变式29已知幂函数在上单调递增，不等式的解集为()ABCD题型十：幂函数综合问题例28已知幂函数在上单调递增(1)求m的值及函数的解析式；(2)若函数在上的最大值为3，求实数a的值例29已知幂函数为奇函数.(1)求的值；(2)若，求实数的取值范围.例30已知幂函数为奇函数(1)求的解析式；(2)若正数满足，若不等式恒成立求的最大值变式30已知幂函数是偶函数(1)求函数的解析式；(2)若，求x的
10、取值范围变式31已知幂函数为偶函数，(1)若，求；(2)已知，若关于x的不等式在上恒成立，求的取值范围变式32已知幂函数在上单调递减(1)求的解析式；(2)若，求a的取值范围【过关测试】一、单选题1下列命题中正确的是()A当时函数的图象是一条直线B幂函数的图象都经过和点C若幂函数是奇函数，则是定义域上的增函数D幂函数的图象不可能出现在第四象限2记，则()ABCD3若幂函数在区间上单调递增，则()AB3C或3D1或4若幂函数的图象经过，则()AB3CD5下列不等式一定成立的是()A若，则B若，则C若，则D若，则6下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是()ABCD7函数是幂函数，对任意，且
11、，满足，若，且，则的值()A恒大于0B恒小于0C等于0D无法判断8已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是()ABCD二、多选题9下列函数中，既是偶函数，又在区间内单调递增的有()ABCD10下图为幂函数的大致图象，则的解析式可能为()ABCD11幂函数，则下列结论正确的是()AB函数是偶函数CD函数的值域为12若函数，则()A的图象经过点和B当的图象经过点时，为奇函数C当的图象经过点时，为偶函数D当时，存在使得三、填空题13函数在上是减函数，则的取值范围是_14已知函数：，既是偶函数，又在上为增函数的是_15已知幂函数在上为单调减函数，则实数的值为_.16不等式的解为_.四、解答题17已知幂函数的图象经过点(1)求的解析式，并指明函数的定义域；(2)设函数，用单调性的定义证明在单调递增18已知幂函数经过.(1)求的值；(2)若，试判断在的单调性并用定义法证明.19已
