《专题16 基本不等式（学生版）-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题16 基本不等式（学生版）-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题16 基本不等式 【知识点梳理】知识点一：基本不等式1、对公式及的理解.(1)成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；(2)取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.2、由公式和可以引申出常用的常用结论(同号)；(异号)；或知识点诠释： 可以变形为：，可以变形为：.知识点二：基本不等式的证明方法一：几何面积法如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个
2、点，这时有.得到结论：如果，那么(当且仅当时取等号“=”)特别的，如果，我们用、分别代替、，可得：如果，则，(当且仅当时取等号“=”).通常我们把上式写作：如果，(当且仅当时取等号“=”)方法二：代数法，当时，；当时，.所以，(当且仅当时取等号“=”).知识点诠释：特别的，如果，我们用、分别代替、，可得：如果，则，(当且仅当时取等号“=”).通常我们把上式写作：如果，(当且仅当时取等号“=”).知识点三：基本不等式的几何意义如图，是圆的直径，点是上的一点，过点作交圆于点D，连接、.易证，那么，即.这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.知识点诠释：1、在数学
3、中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2、如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.知识点四：用基本不等式求最大(小)值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.一正：函数的解析式中，各项均为正数；二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.知识点诠释：1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.2、两个不等式：与都
4、是带有等号的不等式，对于“当且仅当时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解.3、基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：各项都是正数；和(或积)为定值；各项能取得相等的值.5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最
5、大值或最小值问题；在定义域内，求出函数的最大或最小值；写出正确答案.【题型归纳目录】题型一：对基本不等式的理解及简单应用题型二：利用基本不等式比较大小题型三：利用基本不等式证明不等式题型四：利用基本不等式求最值题型五：利用基本不等式求解恒成立问题题型六：基本不等式在实际问题中的应用【典例例题】题型一：对基本不等式的理解及简单应用例1给出下列命题中，真命题的个数为()已知，则成立；已知且，则成立；已知，则的最小值为2；已知，则成立A1个B2个C3个D4个例2几何原本卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实
6、现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为()ABCD例3现有以下结论：函数的最小值是；若、且，则；的最小值是；函数的最小值为.其中，正确的有()个ABCD变式1(多选题)下列推导过程，正确的为()A因为、为正实数，所以B因为，所以C，所以D因为、，所以变式2(多选题)下列推导过程，正确的为()A因为a，b为正实数，所以22B因为xR，所以1C因为a0，所以+a24D因为，所以题型二：利用基本不等式比较大小例4设，则下列不等式成立的是()ABCD例5若，则下列不等式成立的是()ABCD例6已知，则()ABCD变式3设正实数a、b满足，
7、则下列结论正确的是()ABCD变式4对于实数有下列命题：若，则若，则；若，则；若，则.则其中真命题的个数是()A1B2C3D4变式5已知a、b为正实数，则()ABCD题型三：利用基本不等式证明不等式例7已知，且，求证：.例8已知是正实数.(1)若，证明：；(2)证明：.例9已知，求证：.变式6已知，.(1)若，求的最大值；(2)若，证明：.题型四：利用基本不等式求最值例10已知，且，则ab的最大值为_例11若满足，则的最大值是_.例12已知x，y都为正数，且2xy1，则2xy的最大值为的最小值为的最大值为的最小值为所有正确的序号是_变式7已知正实数满足，则的最小值为_.变式8已知，若，则的最小
8、值为_.变式9若，且，则的最小值为_变式10正实数满足，则的最小值为_.变式11若，且，则的最小值为_.变式12若，且，则的最小值为_.变式13若，则的最小值为_.变式14已知，且，则的最小值为_.变式15已知，且，则的最小值为_变式16，且，则ab的最小值为_变式17已知，则的最小值是_；变式18若，则的最小值为_.变式19若，则的最小值为_变式20已知，若，则的最小值为_变式21函数的最小值为_变式22已知，的最小值为_.变式23函数 的最小值为_变式24已知实数且，则的最小值为_.变式25已知a、，且，则ab的最大值是_.变式26已知，且，则的最小值为_.题型五：利用基本不等式求解恒成立
9、问题例13为加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面积为32平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室后背靠墙，无需建造费用，某公司给出的报价为：应急室正面和侧面报价均为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，设应急室的左右两侧的长度均为米，公司整体报价为元.(1)试求关于的函数解析式；(2)公司应如何设计应急室正面和两侧的长度，可以使学校的建造费用最低，并求出此最低费用.例14为了加强“平安校园”建设，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警
10、务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元.设屋子的左右两面墙的长度均为米.(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围.例15为迎接四川省第十六届少数民族传统运动会，州民族体育场进行了改造翻新，在改造州民族体育场时需更新所有座椅，并要求座椅的使用年限为15年，已知每千套座椅建造成本是8万元，设每年的管理费用
11、为万元与总座椅数千套，两者满足关系式：15年的总维修费用为80万元，记为15年的总费用(总费用=建造成本费用+使用管理费用+总维修费用)请问当设置多少套座椅时，15年的总费用最小，并求出最小值变式27某游泳馆拟建一座占地面积为200平方米的矩形泳池，其平面图形如图所示，池深1米，四周的池壁造价为400元/米，泳池中间设置一条隔离墙，其造价为100元/米，泳池底面造价为60元/平方米(池壁厚忽略不计)，设泳池的长为x米，写出泳池的总造价，问泳池的长为多少米时，可使总造价最低，并求出泳池的最低造价题型六：基本不等式在实际问题中的应用例16已知实数a，b满足，若对于，恒成立，则实数m的取值范围是_例
12、17已知正数x，y满足，若不等式对任意正数x，y恒成立，则实数m的取值范围为_例18已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是_变式28对任意正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是_变式29已知，若恒成立，则实数m的取值范围是_变式30已知，若不等式对一切实数、恒成立，则实数的取值范围是_变式31若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是_.变式32对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围是_.变式33已知，若不等式恒成立，则实数m的最大值为_【过关测试】一、单选题1若，则的最值情况是()A有最大值B有最小值6C有最大值D有最小值22函数的最小值为()A2BC3D43已知，那么c的最大值为()A1BCD4的最小值等于()A3BC2D无最小值5已知，则当取最大值时，的值为()ABCD6若对任意，恒成立，则实数的取值范围是()ABCD7已知，则的最小值为()A4BCD8下列使用均值不等式求最小值的过程，正确的是()A若，则B若，则由知，的最小值为1C若，则D若，则二、多选题9以下四个命题，其中是真命题的有
