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1、专题21 函数的应用(一) 【知识点梳理】知识点一用函数模型解决实际问题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型(3)求模：求解数学模型，得到数学结论(4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中可将这些步骤用框图表示如下：知识点二 常见的函数模型(1)一次函数模型：即直线模型，其特点是随着自变量的增大，函数值匀速增大或减小现实生活中很多事例可以用该模型来表示，例如：匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长量与拉力的关系等(2)二次函数模型：二次函数为生活中最
2、常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等问题常常是二次函数的模型(3)分段函数模型：由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化的实际问题，或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用【题型归纳目录】题型一：分式型函数模型的应用题型二：二次函数模型的应用题型三：分段函数模型的应用题型四：函数图象与实际问题的交汇【典例例题】题型一：分式型函数模型的应用例1生命在于运动，运动在于锻炼.其中，游泳就是一个非常好的锻炼方式.游泳有众多好处，强身健体、保障生命安全、增强心肺功能、锻炼意志、培养勇敢顽强精神、休闲娱乐.近几年，游泳池成了新小区建设的
3、标配家门口的“游泳池”，成了市民休闲娱乐的好去处，如图，某小区规划一个深度为，底面积为的矩形游泳池，按规划要求：在游泳池的四周安排宽的休闲区，休闲区造价为元/，游泳池的底面与墙面铺设瓷砖，瓷砖造价为元/.其他设施等支出约为1万元，设游泳池的长为.(1)试将总造价(元)表示为长度(m)的函数；(2)当取何值时，总造价最低，并求出最低总造价.【解析】(1)因为游泳池的长为，所以游泳池的宽为，铺游泳池的花费为，休闲区的花费为，所以总造价为，其中；(2)由基本不等式可得(元)，当且仅当，即时，等号成立.因此，当时，总造价最低，且最低总造价为元.例2“垃圾分一分，环境美十分”某校为积极响应有关垃圾分类的
4、号召，从百货商场购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每个贵50元，用4000元购买A品牌垃圾桶的数量是用3000元购买B品牌垃圾桶数量的2倍(1)求购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？(2)若该中学决定再次准备用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶共50个，恰逢百货商场对两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A品牌按第一次购买时售价的九折出售，B品牌比第一次购买时售价提高了20%，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？【解析】(1)设购买一个A品牌垃圾桶需x元，则购买一个B品牌垃圾桶需(x+50)元，依题意，得：，解得：x100，经
5、检验x100是原方程的解，且符合题意，x+50150答：购买一个A品牌垃圾桶需100元，购买一个B品牌垃圾桶需150元(2)设该学校此次购买m个B品牌垃圾桶，则购买(50m)个A品牌垃圾桶，依题意，得：1000.9(50m)+150(1+20%)m6000，解得：m因为m是正整数，所以m最大值是16答：该学校此次最多可购买16个B品牌垃圾桶例3因新冠疫情零星散发，某实验中学为了保障师生安全，同时考虑到节省费用，拟借助校门口一侧原有墙体建造一间高为4米、底面积为24平方米、背面靠墙体的长方体形状的隔离室隔离室的正面需开一扇安全门，此门高为2米，且此门高为此门底的.因此室的后背面靠墙，故无需建墙费
6、用，但需粉饰现学校面向社会公开招标，甲工程队给出的报价：正面为每平方米360元，左右两侧面为每平方米300元，已有墙体粉饰为每平方米100元，屋顶和地面以及安全门报价共计1200元设隔离室的左右两侧面的底边长度均为x米(1)记y为甲工程队整体报价，求的解析式；(2)现有乙工程队也要参与此隔离室建造的竞标，其给出的整体报价为元，问是否存在实数t，使得无论左右两侧底边长为多少，乙工程队都能竞标成功(注：整体报价小者竞标成功)，若存在，求出t满足的条件；若不存在，请说明理由【解析】(1)由题意，隔离室的左右两侧的长度均为x米()，则底面长为米，正面费用为 ,故 ，.(2)由题意知, ，对任意都成立,
7、即对任意恒成立，令 ,则，则，而，当且仅当取等号，故 ，即存在实数，无论左右两侧长为多少，乙工程队都能竞标成功.题型二：二次函数模型的应用例4某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券类产品的年收益f(x)(单位：万元)与投资额x(单位：万元)成正比，其关系如图1；投资股票类产品的年收益g(x)(单位：万元)与投资额x(单位：万元)的算术平方根成正比，其关系如图2.(1)分别写出两种产品的年收益f(x)和g(x)的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元?【解析】(1)依题意可设f(x)=k1x(x0)
8、，g(x)=k2(x0).f(1)=k1=，g(1)=k2=，f(x)=x(x0)，g(x)=(x0).(2)设投资债券类产品x万元，股票类产品(20-x)万元，年收益为y万元，则由题意得y=f(x)+g(20x)=(0x20)，令t=，则x=20t2，0,2，y=(t2)2+3，0,2，当t=2，即x=16时，ymax=3.投资债券类产品16万元，股票类产品4万元时可获得最大年收益，且最大年收益为3万元.例5小明同学想知道自家煤气灶旋钮放到什么位置时，烧开一壶水最省燃气，于是通过实验统计了旋钮的转角为、时，烧开一壶水所耗燃气情况：旋钮的转角(单位：度)1836547290所耗燃气量(单位：)
9、0.1300.1220.1390.1490.172请选择合适的函数模拟拟合以上数据，由此计算：旋钮的转角为多少度时，烧开一壶水所耗然气最少？最少燃气为多少立方米？【解析】设旋钮的转角(单位：度)为x，所耗燃气量(单位：)为y，在平面直角坐标系中描出表中的五个点如图，可以选择二次函数进行模拟拟合，设，不妨取代入，得，解得，故,当时，的最小值为().所以当(度)时，烧开一壶水所耗燃气最少，约例6鱼卷是泉州十大名小吃之一，不但本地人喜欢，而且深受外来游客的赞赏.小张从事鱼卷生产和批发多年，有着不少来自零售商和酒店的客户当地的习俗是农历正月不生产鱼卷，客户正月所需要的鱼卷都会在上一年农历十二月底进行一
10、次性采购，小张把去年年底采购鱼卷的数量x(单位：箱)在的客户称为“熟客”，并把他们去年采购的数量制成下表：采购数x 客户数10105205(1)根据表中的数据作出频率分布直方图，并估计采购数在168箱以上(含168箱)的“熟客”人数；(2)若去年年底“熟客”们采购的鱼卷数量占小张去年年底总的销售量的，估算小张去年年底总的销售量(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(3)由于鱼卷受到游客们的青睐，小张做了一份市场调查，决定今年年底是否在网上出售鱼卷，若不在网上出售鱼卷，则按去年的价格出售，每箱利润为20元，预计销售量与去年持平；若在网上出售鱼卷，则需把每箱售价下调2至5元，且每下调m元()
11、销售量可增加1000m箱，求小张今年年底收入Y(单位：元)的最大值.【解析】(1)作出频率分布直方图，如图所示根据上图，可知估计采购量在168箱以上(含168箱)的“熟客”人数为.(2)去年年底“熟客”所采购的鱼卷总数大约为(箱)；小张去年年底总的销售量为(箱).(3)若不在网上出售鱼卷，则今年年底小张的收入为(元)；若在网上出售鱼卷，则今年年底的销售量为箱，每箱的利润为，则今年年底小张的收入为，当时， 取得最大值256000，小张今年年底收入的最大值为256000元.变式1甲、乙两城相距100km，在两城之间距甲城xkm处的丙地建一核电站给甲、乙两城供电，为保证城市安全，核电站距两地的距离不
12、少于10km已知各城供电费用(元)与供电距离(km)的平方和供电量(亿千瓦时)之积都成正比，比例系数均是=0.25，若甲城供电量为20亿千瓦时/月，乙城供电量为10亿千瓦时/月，(1)把月供电总费用y(元)表示成x(km)的函数，并求其定义域；(2)求核电站建在距甲城多远处，才能使月供电总费用最小【解析】(1)由题意知：经化简为，定义域为.(2)将(1)中函数配方为，所以当即核电站距甲城时，月供电总费用最小，为元变式2某工厂去年1月，2月，3月生产某产品分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产量数据为依据，用一个函数模拟产品的月产量与月份数的关系，模拟函数
13、可以选择二次函数或函数(其中为常数)已知4月份该产品产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数更好，并说明理由【解析】设二次函数为，由已知得，解之得，所以，当时， ，又对函数，由已知得 ，解之得，所以 ，当时， .根据四月份的实际产量为万元，而,所以函数作模拟函数较好.题型三：分段函数模型的应用例7某厂生产某种零件，每个零件的成本为4元，出厂单价6元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购超过100个时，每多订购一个，零件的出厂单价就降低0.01元，但实际出厂价不低于5元(1)当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价降为5元？(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为元，求函数的表达
14、式；(3)销售商一次订购150个零件时，该厂获得的利润是多少元？若订购500个呢？【解析】(1)设一次订购量为个时，零件的实际出厂单价降为5元，则，解得，所以当一次订购量为200个时，零件的实际出厂单价降为5元(2)当时，当时，当时，故，(3)当一次订购150个零件时，出厂单价为元，该厂获得的利润是：元；当一次订购500个零件时，出厂单价为5元，该厂获得的利润是：元，故销售商一次订购150个零件时，该厂获得的利润是225元；若订购500个，该厂获得的利润是500元例8在中国很多乡村，燃放烟花爆竹仍然是庆祝新年来临的一种方式，烟花爆竹带来的空气污染非常严重，可喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，
15、每喷洒一个单位的去污剂，空气中释放的去污剂浓度(单位：毫克/立方米)随着时间(单位：天)变化的函数关系式近似为，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和，由试验知，当空气中去污剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到去污作用.(1)若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒个单位的去污剂，要使接下来的3天能够持续有效去污，求的最小值.【解析】(1)释放的去污剂浓度为， 当时，解得，所以；当时，解得，即；故一次投放4个单位的去污剂，有效去污时间可达7天.(2)设从第一次喷洒起，经天，则浓度，当且仅当即等号成立.所以的最小值为.例9目前，我国汽车工业迎来了巨大的革命时代，确保汽车产业可持续发展，国内汽车市场正由传统燃油车向新能源、智能网联汽车升级转型
