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1、专题02分解因式 【知识点梳理】知识点1：十字相乘法要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在 ，则.要点诠释：(1)在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则、同号(若，则、异号)，然后依据一次项系数的正负再确定、的符号； (2)若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式(0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等
2、于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.要点诠释：(1)分解思路为“看两端，凑中间” (2)二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.知识点2：提取公因式法与分组分解法1、提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。2、符号语言：3、提公因式的步骤：(1)确定公因式 (2)提出公因式并确定另一个因式(依据多项式除以单项式) 4、注意事项：因式分解一定要彻底知识点3：关于x的二次三项
3、式ax2+bx+c(a0)的因式分解若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为.【题型归纳目录】题型一：十字相乘法题型二：提取公因式法与分组分解法题型三：关于x的二次三项式的因式分解【典例例题】题型一：十字相乘法例1由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：示例：分解因式：(1)尝试：分解因式：_；(2)应用：请用上述方法解方程：例2阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：；而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：；通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式如将式子分解因式这个式子的二次项系数是，常数
4、项，一次项系数，可以用下图十字相乘的形式表示为：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写这样，我们就可以得到：利用这种方法，将下列多项式分解因式：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 例3阅读理解完成任务：教材第121页阅读与思考中有一种因式分解的方法叫十字相乘法，书中描述分解因式的过程如下：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数(如分解图)，这样，我们就可以得到：某同学看
5、完教材没完全懂，问老师后就懂了，老师讲解如下：利用十字相乘法分解，首先分解二次项系数6，可分解为或或或，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项3，可分解为或，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，这样就会出现16种情况(如下分解图)，求代数和等于一次项系数7，符合分解的分解图有2种情况(就是方框框起的两种情况)所以得到：或十字相乘法公式：(其中，a，b，c，d为常数)阅读以上材料，完成以下任务：请用十字相乘法分解下列多项式，要求写出一种符合分解的分解图(1) (2)变式1仔细阅读下面例愿，并解答问思：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值参考答案设另一个因式为
6、，得，则，解得：另一个因式为(1)若二次三项式可分解为，则 ；(2)若二次三项式可分解为，则 ；(3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值变式2阅读理解题：由多项式乘法： ，将该式从右到左使用，即可得到因式 分解的公式：示例：分解因式：分解因式：多项式的特征是二次项系数为 1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和(1)尝试：分解因式：(2)应用：请用上述方法将多项式进行因式分解变式3阅读下列材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成例如：(1)；(2)根据材料，把下列式子进行因式分解(1)； (2)； (3)题型二：提取公因式法与分组分解法例4分
7、解因式_例5若，则_例6分解因式：_变式4分解因式：_变式5分解因式：_变式6分解因式： _变式7当时，代数式_变式8分解因式：= _变式9分解因式：_题型三：关于x的二次三项式的因式分解例7分解因式：(1)； (2)例8问题情景：将下列完全平方式进行因式分解，将结果直接写在横线上；_；探究发现：观察以上多项式，发现：；归纳猜想：若多项式是完全平方式，则a，b，c之间存在的数量关系为；验证结论：嘉琪验证归纳猜想中的结论的过程如下，请补全嘉琪的验证过程；_是完全平方式，_，即解决问题：若多项式是一个完全平方式，求n的值；若多项式加上一个含字母y的单项式就能变形为一个完全平方式，请直接写出所有满足
8、条件的单项式例9已知关于x的多项式因式分解后有一个因式是(1)求m的值；(2)将该多项式因式分解变式10分解因式(1) (2) (3)变式11分解因式：(1)； (2)变式12因式分解：(1) (2) (3)【过关测试】一、单选题1多项式可因式分解成，其中a、b均为整数，则ab的值为()ABC6D52下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的为()ABCD3下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是()ABCD4下列因式分解正确的是()ABCD5下列说法正确的是()A五边形的外角和是B对角线相等且互相垂直的四边形是正方形C因式分解是正确的D关于x的方程有两个不相等的实数根 6若，则的
9、值为()A10B6C5D37下列各式中能用完全平方公式因式分解的是()ABCD8已知三个实数，满足，则下列结论正确的是()A，B，CD9已知、为三边，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则这个三角形是()A等边三角形B直角三角形C等腰三角形D不等三角形10如果能被整除，则的值是()A2BC3D二、填空题11已知方程的两个解分别为，则的值为_12若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式，则a的值为_13分解因式： _14因式分_.15分解因式_三、解答题16数学学习中常见互逆运算，例如加法和减法互为逆运算，乘法和除法互为逆运算，分解因式和整式乘法也是互逆运算请回答下列问题：(1)是
10、因式分解的_(在括号内写序号)；(2)小红是一名密码编译爱好者，在她的密码手册中，有这样一条信息：分别对应下列六个字：四、爱、学、中、我、十现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是哪四个字？17如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”如，因此，、这三个数都是神秘数(1)验证和这两个数是否为神秘数；(2)设两个连续偶数为和(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是的倍数吗? 请说明理由18填空：；_；发现：两个连续正偶数的平方差一定能被4整除；论证：设“发现”中的两个正偶数中较小的为(n为正整数)，请论证“发现”中的结论；应用：请将36表示成两个连续正偶数
11、的平方差19先化简，再求值：已知，求代数式的值20在一次数学课上，张老师对大家说：“你任意想一个非零有理数，然后按下列步骤操作，去运算出最后结果”操作步骤如下：第一步：计算这个数与1的和的平方，减去这个数与1的差的平方；第二步：把第一步得到的数乘以25；第三步：把第二步得到的数除以你想的这个数(1)若嘟嘟同学心里想的是数，请你计算出最后结果；(2)老师说：“同学们，无论你们心里想的是什么非零数，按照以上步骤进行操作，得到的最后结果都相等”雯雯想验证这个结论，于是，设心里想的数是，请你帮雯雯完成这个验证过程21嘉淇上小学时得知“一个数的各个数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除”，她后来做了
12、如下分析：嘉淇的分析：为整数，5为整数，能被3整除，能被3整除，258能被3整除(1)通过计算验证能否被3整除；(2)用嘉淇的方法证明能被3整除；(3)设是一个四位数，分别为对应数位上的数字，请论证“若能被3整除，则这个数可以被3整除”22.(1)计算：；(2)下面是小颖对多项式因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务分解因式：原式第一步第二步第三步第四步任务一：以上变形过程中，第一步依据的公式用字母，表示为 ；任务二：以上分解过程第 步出现错误，具体错误为 ，分解因式的正确结果为 23仔细观察下列各式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；请你根据以上规律，解决下列问题：(1)写出第4个等式：_；(2)写出第(为正整数)个等式，并证明等式成立第 11 页 共 11 页
