《专题05 三角形（教师版）-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题05 三角形（教师版）-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题05 三角形 【知识点梳理】知识点1：三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.如图3.2-1 ，在三角形中，有三条边，三个角，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高(如图3.2-2)是三角形中的三种重要线段. 三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶
2、点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.知识点2：几种特殊的三角形结论一：等腰三角形底边上三线(角平分线、中线、高线)合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上.结论二：正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心(内心、重心、垂心、外心)合一，该点称为正三角形的中心.【题型归纳目录】题型一：三角形的“四心”题型二：几种特殊的三角形【典例例题】题型一：三角形的“四心”例1如图，在平行四边形中，P是线段中点，连接交于点E
3、，连接(1)如果求证：平行四边形为菱形；若，求线段的长【解析】(1)证明：如图所示，连接交于O，四边形是平行四边形，平行四边形是菱形；，是的中线，为中点，是的中线，点E是的重心，设，则，在中，由勾股定理，得，在中，由勾股定理，得，解得：(负值舍去)，四边形是平行四边形，；例2在，点O是边的中点，将绕点O旋转得到(点A，B的对应点分别为，)，点不在直线上，连接(1)如图1，连接，求证：四边形是矩形；(2)如图2，当落在边上时，与交于点M，连接，求线段的长；【解析】(1)证明：绕点O顺时针旋转得到，点O是边的中点，四边形是平行四边形，四边形是矩形(2)四边形是矩形，且，即M为的中点，；变式1如图，
4、已知，四边形中，的平分线交于点，以为直径作半经过点，交于点(1)求证：与半相切；(2)若，求的长【解析】(1)连接，的平分线交于点，是的切线，即与半相切；(2)连接，是的直径，点为的中点，点为的中点，在中，在中，在中，变式2如图，点E是延长线上一点，(1)求证：(2)若平分，求的度数【解析】(1)证明：，；(2)，平分，的度数为变式3如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是(1)请画出向左平移6个单位长度后得到的；(2)以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，请在y轴右侧画出，并求出的面积【解析】(1)将点，向左平移6个单位长度后可得：，顺次连接，得到如图所示，(2)分别取的中点，顺
5、次连接，如图所示，的面积为：变式4如图，在平面直角坐标系中，网格上的每个小正方形的边长均为1，的顶点坐标分别为，(1)在图中画出关于x轴对称的(点A、B、C的对应点分别为、)；(2)求的面积【解析】(1)作图如下：(2)由题意可知，小网格的边长代表1个单位长度，如图：题型二：几种特殊的三角形例4如图，在中，是的中点，点，在直线上，且(1)求证：四边形是菱形；(2)若，求的长【解析】(1)证明：是的中点，四边形是平行四边形，即：，四边形是菱形(2)由(1)得：，设，则，解得：，例5如图，点D在边上，和相交于点O(1)求证：；(2)若，则的度数为_【解析】(1)证明：，则，在和中，；(2)，在中，
6、故答案为：69变式6如图，与相交于点O，且 ，求证：【解析】证明：在和中，变式7如图，点A，B在的同侧，线段相交于点E，求证：【解析】证明：，在和中，变式7如图，中，平分(1)过点A作的垂线，H为垂足，交于点P；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)(2)求证： 【解析】(1)如图所示，即为所求：(2)证明：，平分，变式8如图，方格纸中，每个小正方形的边长都是1，在平面直角坐标系中的位置如图所示(1)画出关于y轴对称的(2)画出以为腰的等腰三角形，连接，使的面积为5【解析】(1)根据轴对称的性质对称轴垂直平分对称点连线，分别找出，连接，如图所示：(2)如图，是以为腰的等腰三角形，且的面积为
7、5：【过关测试】1已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，线段交y轴于点，且D是中点，反比例函数经过线段的中点E(1)求反比例函数的解析式；(2)如图2，点G是x轴上一点，连接交反比例函数的图象于点F，连接，交于点P若，求的面积【解析】(1)，且点D是中点，点C的横坐标为，纵坐标为，点E是线段的中点，反比例函数经过点E，反比例函数的解析式为；(2)如图，过点F作轴于点H，连接，轴，轴，将代入，得，解得，即，解得，2.【探究】(1)如图，在中，点是中点，连接，则与的数量关系是_【应用】(2)如图，在中，点，分别是、的中点，连接、，且，求的长度(3)如图，的中线、相交于点，、分别是、的中点连接、若的
8、面积为，则四边形的面积为_【解析】(1)在中，点是中点，与的数量关系是，故答案为：；(2)，点，分别是、的中点，的长度为；(3)点、分别是、的中点，是的中位线，的中线、相交于点，即点、分别是、的中点，是的中位线，四边形是平行四边形，是的边上的中线，的面积为，和等底等高，即，四边形是平行四边形，点是的中点，、等底等高，四边形的面积为：，故答案为：3如图，在中，以AB为直径的与BC相交于点D，过点D作的切线交于点E(1)求证：；(2)若的直径为13，求的长【解析】(1)证明：连接OD，OD是圆的半径，DE是的切线，；(2)连接AD，AB为直径，ADB=90，的直径为13，4已知在中，点M平分，平分，过点A、M、D的分别交于点E、F(1)求的度数；(2)求证：；(3)已知，求的半径【解析】(1)在中，点M平分，平分，；(2)证明：连接，在中，由(1)知，是等边三角形，；(3)连接，是的直径，由(2)知，是等边三角形，平分，设，解得，的半径为第 15 页 共 15 页
