《专题03 一元二次方程与二次函数的图象、性质（教师版）-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题03 一元二次方程与二次函数的图象、性质（教师版）-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题03 一元二次方程与二次函数的图象、性质 【知识点梳理】知识点1：根的判别式我们知道，对于一元二次方程()，用配方法可以将其变形为因为，所以，于是(1)当时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根；(2)当时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根；(3)当时，方程的右端是一个负数，而方程的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根由此可知，一元二次方程()的根的情况可以由来判定，我们把叫做一元二次方程()的根的判别式，通常用符号“”来表示综上所述，对于一元二次方程()，有(1)当0时，方程有两个不相等的实数根 ；(2)当=0时，方程有两个相等的实数根 ；(3)当0
2、时，函数y=ax2+bx+c图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x=；当x时，y随着x的增大而增大；当x=时，函数取最小值y=(2)当a0时，函数y=ax2+bx+c图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x=；当x时，y随着x的增大而减小；当x=时，函数取最大值y=【题型归纳目录】题型一：根的判别式题型二：根与系数的关系(韦达定理)题型三：二次函数图像的伸缩变换题型四：二次函数图像的平移变换【典例例题】题型一：根的判别式例1已知关于x的一元二次方程，若该方程有两个相等实数根，求m的值【解析】关于x的一元二次方程有两个相等实数根，解得：答：m的值为6例2解下列方程(1)； (2)(3)求证：无
3、论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根【解析】(1)，解得：，；(2)，或，解得：，；(3)，整理得：，即无论取何值时方程总有两个不相等的实数根例3已知关于的方程(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若为正整数，且方程有一个根为负数，求的值【解析】(1)证明：，方程总有两个实数根；(2)，解得：，为正整数，且方程有一个根为负数，的值为变式1当为何值时，关于x的一元二次方程有实根？【解析】一元二次方程有实根，即，解得：，又方程为一元二次方程；即，即当且时，方程有实数根故填：且变式2关于x的方程有两个不相等的实数根(1)求m的取值范围；(2)若m为正整数，求此时方程的根【解析】(1)由题意得：，
4、该方程有两个不相等的实数根，(2)m为正整数，且，此时，方程为，解得 ，变式3已知关于x的方程(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若该方程有一个根小于1，求m的取值范围【解析】(1)解 方程总有两个实数根(2)由求根公式，得，依题意可得变式4已知关于的一元二次方程(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；(2)若，且该方程的一个根是另一个根的2倍，求的值【解析】(1)证明：由题意得， ，关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根；(2)设方程的两个根分别为，解得，又，题型二：根与系数的关系(韦达定理)例4若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为_.【答案】【解析】，是一元二次方程的两个实数根
5、，故答案为：例5已知方程的两根分别为，则的值为_【答案】【解析】方程的两根分别为，故答案为：例6关于的方程的两个根为，若，则_【答案】【解析】，是方程的两根，解得：故答案为变式5设m、n是方程的两个实数根，则_【答案】2022【解析】m、n是方程的两个实数根，故答案为：2022变式6若实数分别满足，且，则代数式的值为_【答案】【解析】设是的根，则，变式7设是关于的方程的两个根，且，则_【答案】8【解析】，是关于x的方程的两个根，即，则，故答案为：变式8抛物线(p，q为常数)的顶点M关于y轴的对称点为该抛物线与x轴相交于不同的两点，且，则的值为_【答案】【解析】顶点M关于y轴的对称点为，抛物线与
6、x轴相交于不同的两点，且，或(舍去)，故答案为：变式9已知一元二次方程的一个根是1，则另一个根是_【答案】2【解析】设该方程的两个根分别为：，根据题意可得：，故答案为：2变式10已知是一元二次方程的两根，则_【答案】【解析】是一元二次方程的两根，故答案为：题型三：二次函数图像的伸缩变换例7如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接(1)求抛物线的函数解析式；(2)如图1，若点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴，垂足为，交于点，当点是的三等分点时，求点坐标；(3)如图2，将抛物线向右平移得到新抛物线，直线与新抛物线交于，两点，若点是线段的中点，求新抛物线的解析式【解析】(1)由题意得，；(2)，设
7、直线的解析式为，代入得：，解得：，直线的解析式为：，设点，为的三等分点，或，解得，或；(3)抛物线解析式为，设平移后的抛物线解析式为，联立方程组可得：，设点，点，直线与新抛物线交于，两点，是方程的两根，点A是的中点，新抛物线解析式为题型四：二次函数图像的平移变换例9已知一次函数的图像与二次函数的图像相交于点、(1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图像；(2)根据函数图像，直接写出不等式的解集；(3)方程在范围内只有一个解，求的取值范围；(4)把二次函数的图像左右平移得到拋物线，直接写出当抛物线与线段只有一个交点时的取值范围【解析】(1)将，代入得，解得，一次函数的图象过点和点，解
8、得 ，一次函数的表达式为，函数图象如下所示：(2)由(1)中的图象可知，不等式的解集为：或；(3)把代入得，当时，由图象可知，当时，抛物线与直线只有一个交点，的取值范围是或；(4) 当过点时，即，解得或，当时，抛物线与原二次函数重合，与线段有两个交点，故舍去，；当过点时，即，解得，当时，此时满足题意；当与直线只有一个交点时，令， 整理得：，则，解得：，综上，或【过关测试】一、单选题1已知m，n，5分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m，n分别是关于x的一元二次方程的两个根，则k的值等于()A3B5或9C5D9【答案】B【解析】m，n，5分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长当或时，即
9、方程为解得：此时该方程为解得：，此时三角形的三边为5，5，1，符合题意；当时，即即解得： 此时该方程为解得：此时三角形的三边为3，3，5，符合题意，综上所述，k的值等于5或9故选：B2已知关于x的方程的两实根为，若，则m的值为()ABC或3D或1【答案】A【解析】关于x的方程的两实数根为， ，解得：，方程有两个实数根，解得：，故选：A3某公司去年10月份的营业额为2500万元，后来公司改变营销策略，12月份的营业额达到3780万元，已知12月份的增长率是11月份的1.3倍，求11月份的增长率设11月份的增长率为，根据题意，可列方程为()ABCD【答案】A【解析】由题意可得11月份的营业额为：，12月份的营业额为：，可列方程为：，故选A 4关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是()ABCD【答案】D【解析】由关于的一元二次方程有实数根，可得：，解得：故选：D5已知，是一元二次方程的两根，则的值为()A4BC2D1【答案】D【解析】，是一元二次方程的两根，故选：D6已知，是一元二次方程的两根，则的值是()A2B3CD【答案】B【解析】，是一元二次方程的两根，故选B7二次函数(a，b、c为常数，且)的图象如图所示，其对称轴为直线，则下列关系式错误的是()AB
