《专题17 二次函数与一元二次方程、不等式（学生版）-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题17 二次函数与一元二次方程、不等式（学生版）-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题17 二次函数与一元二次方程、不等式 【知识点梳理】知识点一：一元二次不等式的概念一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式知识点二：二次函数的零点一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点.知识点三：一元二次不等式的解集的概念使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集知识点四：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种
2、情况来讨论一元二次不等式或的解集.二次函数()的图象有两相异实根有两相等实根无实根知识点诠释：(1)一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；(2)表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；(3)解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集.知识点五：利用不等式解决实际问题的一般步骤(1)选取合适的字母表示题中的未知数；(2)由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；(3)求解所列出的不等式(组)；(4)结合题目的实际意义确定答案知识点六：一元二次不等式恒成立问题(1)转化
3、为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.知识点七：简单的分式不等式的解法系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”【题型归纳目录】题型一：解不含参数的一元二次不等式题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇题型三：含有参数的一元二次不等式的解法题型四：一次分式不等式的解法题型五：实际问题中的一元二次不等式问题题型六：不等式的恒成立与有解问题题型七：一元二次方程根的分布问题【典例例题】题型一：解不含参数的一元二次不等式例1解不等式：(1)； (2).例2求解下列不等式的解集：(1)； (2)； (3)； (4)； (5).例3不等式的解集是_.变
4、式1 的解集为_.变式2不等式的解集为_.变式3不等式2x2x150的解集为_题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇例4已知不等式的解集为，则不等式的解集为_例5已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集为_例6已知是关于的二次方程的两根，则的大小关系是_.变式4已知不等式的解集是，则不等式的解集是_.变式5若方程有唯一的实数根3，则不等式的解集为_变式6若一元二次不等式的解集是，则的值是_.变式7若不等式的解集为或，则的值为_变式8已知不等式的解集为，则不等式的解集为_题型三：含有参数的一元二次不等式的解法例7解关于x的不等式.例8已知.(1)当时，解关于x的不等式；(2)当时，
5、解关于x的不等式.例9解关于x的不等式.变式9解下列关于的不等式变式10解下列关于的不等式变式11解下列关于的不等式：题型四：一次分式不等式的解法例10不等式的解集为_.例11不等式的解集为_例12不等式的解集是_.变式12不等式的解集是_变式13不等式的解集是_题型五：实际问题中的一元二次不等式问题例13某商品在最近天内的价格与时间 (单位：天)的函数关系是；销售量与时间的函数关系是，则使这种商品日销售金额不小于元的的范围为()ABCD例14某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x(件)与单价P(元)之间的关系为，生产x件所需成本为C(元)，其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取
6、值范围是()A20x30B20x45C15x30D15x45例15某种汽车在水泥路面上的刹车距离(单位：)和汽车刹车前的车速(单位：)之间有如下关系：，在一次交通事故中，测得这种车刹车距离大于40，则这辆汽车刹车前的车速至少为()(精确到1)A76B77C78D80变式14某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是()ABCD变式15某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2400元，为了减少木材消
7、耗，决定按销售收入的征收木材税，这样每年的木材销售量减少万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则的取值范围是()ABCD题型六：不等式的恒成立与有解问题例16已知不等式.(1)若不等式的解集是或，求的值；(2)若不等式的解集是，求的取值范围.例17(1)，求实数a的取值范围;(2)，求实数a的取值范围.例18设.(1)若，求的解集；(2)若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；(3)解关于x的不等式.变式16已知函数(1)若，解关于x的不等式(结果用含m式子表示)；(2)若存在实数m，使得当时，不等式恒成立，求负数n的最小值变式17已知不等式：，(1)分别求出
8、不等式与的解集；(2)若同时满足的值也满足，求实数的取值范围变式18已知不等式2x2+bx+c0的解集x|1x3，若对任意1x0，不等式2x2+bx+c+t4恒成立.则t的取值范围是_.变式19设，若关于x的不等式对任意的恒成立，则的最大值为_变式20已知当时,不等式恒成立.求a的取值范围_(集合形式作答).题型七：一元二次方程根的分布问题例19关于的方程的两根均大于，则实数的取值集合为_.例20关于的方程有一个正根和一个负根的充要条件是_.例21已知函数的图像如图所示，求不等式的解集变式21已知一元二次方程(1)写出“方程有一个正根和一个负根”的充要条件；(2)写出“方程有一个正根和一个负根
9、”的一个必要而不充分条件，并给予证明变式22已知关于的一元二次方程，(1)若，求证：；(2)若时方程有两个不相等的正实数根，求实数的取值范围.【过关测试】一、单选题1关于x的方程至少有一个负根的充要条件是()ABC或D2关于x的方程的解集不可能是()ABCD3已知，则是成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4若不等式的解集为，则函数的图象与x轴的交点为()A和BCD和5若集合，则()A BCR D或6已知不等式和不等式的解集相同，则实数的值分别为()ABCD7若，则等于()AB或CD或8若“”是“”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是()A或B或C或
10、D或二、多选题9有纯农药液一桶，倒出8升后用水加满，然后又倒出4升后再用水加满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的，则桶的容积可能为()A7B9C11D1310设，则函数的图象可能是()ABCD11已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是()AB的解集为CD的解集为12下列命题不正确的是()A集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的值为B若一元二次方程的解集为R，则k的取值范围为C设集合，则“”是“”的充分不必要条件D正实数满足，则三、填空题13当时，关于x的不等式的解集是_14如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为给出下面四个结论：；其中正确结论的序号是_15若集合，则_1
11、6若关于的不等式的解集中只有一个元素，则实数的取值集合为_.四、解答题17已知等式对任意实数m恒成立，求所有满足条件的实数对的集合.18求解下列问题：(1)已知都是正数若，求的最小值(2)已知不等式的解集为或求实数的值19已知，不等式的解集为A，且满足，求实数a的取值范围.20某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为元/个，出厂价为元/个，日销售量为个，为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本若每个蛋糕成本增加的百分率为，则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为，同时预计日销售量增加的百分率为，为使日利润有所增加，求的取值范围21已知，(其中实数).(1)分别求出p，q中关于x的不等式的解集M和N；(2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.22已知关于x的不等式，其中(1)求上述不等式的解；(2)是否存在实数k，使得上述不等式的解集A中只有有限个整数？若存在，求出使得A中整数个数最少的k的值；若不存在，请说明理由第 14 页 共 14 页
