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1、专题02分解因式 【知识点梳理】知识点1：十字相乘法要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在 ，则.要点诠释：(1)在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则、同号(若，则、异号)，然后依据一次项系数的正负再确定、的符号； (2)若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式(0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等
2、于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.要点诠释：(1)分解思路为“看两端，凑中间” (2)二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.知识点2：提取公因式法与分组分解法1、提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。2、符号语言：3、提公因式的步骤：(1)确定公因式 (2)提出公因式并确定另一个因式(依据多项式除以单项式) 4、注意事项：因式分解一定要彻底知识点3：关于x的二次三项
3、式ax2+bx+c(a0)的因式分解若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为.【题型归纳目录】题型一：十字相乘法题型二：提取公因式法与分组分解法题型三：关于x的二次三项式的因式分解【典例例题】题型一：十字相乘法例1由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：示例：分解因式：(1)尝试：分解因式：_；(2)应用：请用上述方法解方程：【解析】(1)，故答案为：2，5；(2)原方程可化为，或，解得：，例2阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：；而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：；通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是
4、1的二次三项式分解因式如将式子分解因式这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数，可以用下图十字相乘的形式表示为：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写这样，我们就可以得到：利用这种方法，将下列多项式分解因式：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 【解析】(1)，；故答案为：；(2)，；故答案为：；(3)，；故答案为：；(4)，；故答案为：例3阅读理解完成任务：教材第121页阅读与思考中有一种因式分解的方法叫十字相乘法，书中描述分解因式的过程如下：先分解二次项系数，分别写在十字
5、交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数(如分解图)，这样，我们就可以得到：某同学看完教材没完全懂，问老师后就懂了，老师讲解如下：利用十字相乘法分解，首先分解二次项系数6，可分解为或或或，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项3，可分解为或，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，这样就会出现16种情况(如下分解图)，求代数和等于一次项系数7，符合分解的分解图有2种情况(就是方框框起的两种情况)所以得到：或十字相乘法公式：(其中，a，b，c，d为常数)阅读以上材料，完成以下任务：请用十字相乘法分解下
6、列多项式，要求写出一种符合分解的分解图(1) (2)【解析】(1)分解图如下：；(2)分解图如下：变式1仔细阅读下面例愿，并解答问思：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值参考答案设另一个因式为，得，则，解得：另一个因式为(1)若二次三项式可分解为，则 ；(2)若二次三项式可分解为，则 ；(3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值【解析】(1)由题意得：，所以，所以，解得，故答案为：4(2)由题意得：，所以，所以，故答案为：1(3)设另一个因式为，则，所以，所以，解得，所以另一个因式是，的值为变式2阅读理解题：由多项式乘法： ，将该式从右到左使用，即可得到因式 分解的
7、公式：示例：分解因式：分解因式：多项式的特征是二次项系数为 1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和(1)尝试：分解因式：(2)应用：请用上述方法将多项式进行因式分解【解析】(1)，故答案为：2，4或4，2；(2)变式3阅读下列材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成例如：(1)；(2)根据材料，把下列式子进行因式分解(1)； (2)； (3)【解析】(1)；(2)；(3)题型二：提取公因式法与分组分解法例4分解因式_【答案】【解析】原式，故答案为：例5若，则_【答案】【解析】，故答案为：例6分解因式：_【答案】【解析】故答案为：变式4分解因式：_【答案】【
8、解析】故答案为：变式5分解因式：_【答案】【解析】故答案为：变式6分解因式： _【答案】【解析】 ，故答案为：变式7当时，代数式_【答案】【解析】，故答案为：0变式8分解因式：= _【答案】【解析】故答案为：变式9分解因式：_【答案】【解析】，故答案为：.题型三：关于x的二次三项式的因式分解例7分解因式：(1)； (2)【解析】(1) ； (2)例8问题情景：将下列完全平方式进行因式分解，将结果直接写在横线上；_；探究发现：观察以上多项式，发现：；归纳猜想：若多项式是完全平方式，则a，b，c之间存在的数量关系为；验证结论：嘉琪验证归纳猜想中的结论的过程如下，请补全嘉琪的验证过程；_是完全平方式
9、，_，即解决问题：若多项式是一个完全平方式，求n的值；若多项式加上一个含字母y的单项式就能变形为一个完全平方式，请直接写出所有满足条件的单项式【解析】问题情境：，故答案为：验证结论：是完全平方式，即故答案为：；(或)；(或)；解决问题：多项式是一个完全平方式，解得：；当添加的含字母y的单项式为中间项时，此时需要添加的单项式为或；当添加的含字母y的单项式为平方项时，此时需要添加的单项式为；综上分析可知，需要添加的含y的单项式为，或例9已知关于x的多项式因式分解后有一个因式是(1)求m的值；(2)将该多项式因式分解【解析】(1)x的多项式分解因式后有一个因式是，当时多项式的值为0，即，；(2)，变
10、式10分解因式(1) (2) (3)【解析】(1)，原式(2)，原式(3)原式变式11分解因式：(1)； (2)【解析】(1)原式； (2)原式变式12因式分解：(1) (2) (3)【解析】(1)；(2)；(3)【过关测试】一、单选题1多项式可因式分解成，其中a、b均为整数，则ab的值为()ABC6D5【答案】B【解析】，即故选：B2下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的为()ABCD【答案】C【解析】A、等式从左边到右边属于整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；B、等式的右边不是整式积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；C、等式从左边到右边把一个多项式化成整式积的形式，符
11、合因式分解的定义，故此选项符合题意；D、等式的右边不是整式积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；故选：C3下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是()ABCD【答案】B【解析】A，从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B，从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；C，因式分解错误，故本选项不符合题意；D，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意故选：B4下列因式分解正确的是()ABCD【答案】B【解析】A、不能进行因式分解，不符合题意；B、，因式分解正确，符合题意；C、，因式分解错误，不符合题意；D、，因
12、式分解错误，不符合题意；故选：B5下列说法正确的是()A五边形的外角和是B对角线相等且互相垂直的四边形是正方形C因式分解是正确的D关于x的方程有两个不相等的实数根 【答案】D【解析】五边形的外角和是，A错误，故不符合要求；对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，B错误，故不符合要求；，C错误，故不符合要求；由，可得，则关于x的方程有两个不相等的实数根，D正确，故符合要求；故选：D6若，则的值为()A10B6C5D3【答案】D【解析】，即，解得：故选D7下列各式中能用完全平方公式因式分解的是()ABCD【答案】D【解析】A、不符合完全平方公式的特点， 故不符合题意；B、不符合完全平方公式的特点， 故不符合题意；C、，用平方差公式分解，故不符合题意；D、，用完全平方公式分解，故符合题意；故答案为：D8已知三个实数，满足，则下列结论正确的是()A，B，CD【答案】D【解析】，或，即或，故A、B结论错误，不符合题意；，故C结论错误，不符合题意，D结论正确，符合题意；故选D9已知、为三边，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则这个三角形是()A等边三角形B直角三角形C等腰三角形D不等三角形【答案】C【解析】关于的一元二次方程有两个相等的实数根，即或这个三角形是等腰三角形，故选：C10如果能被整除，则的值是()A2BC3D【答案】A【解析】能被整除，即是方程的根，解得，故选A
