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1、第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系1已知命题p：a，b为异面直线，命题q：直线a，b不相交，则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：A若直线a，b不相交，则a，b平行或异面，所以p是q的充分不必要条件，故选A. 2如图是某个正方体的侧面展开图，l1，l2是两条侧面对角线，则在正方体中，l1与l2()A互相平行B异面且互相垂直C异面且夹角为 D相交且夹角为解析：D将侧面展开图还原成正方体如图所示，则B，C两点重合故l1与l2相交，连接AD，ABD为正三角形，所以l1与l2的夹角为.故选D.3(2019泉州市模拟)设a，b是互不垂直的两条异面直
2、线，则下列命题成立的是()A存在唯一直线l，使得la，且lbB存在唯一直线l，使得la，且lbC存在唯一平面，使得a，且bD存在唯一平面，使得a，且b解析：Ca，b是互不垂直的两条异面直线，把它放入正方体中如图，由图可知A不正确；由la，且lb，可得ab，与题设矛盾，故B不正确；由a，且b，可得ab，与题设矛盾，故D不正确故选C. 4在正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么正方体过P，Q，R的截面图形是()A三角形B四边形C五边形 D六边形解析：D如图所示，作RGPQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB延长线交于M，且QP反向延长线与CD延长线交于N
3、，连接MR交BB1于E，连接PE，则PE，RE为截面与正方体的交线，同理连接NG交DD1于F，连接QF，FG，则QF，FG为截面与正方体的交线，截面为六边形，故选D.5(2017全国卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析：CM，N，P分别为AB，BB1，B1C1中点，则AB1，BC1夹角为MN和NP夹角或其补角(异面线所成角为)，可知MNAB1，NPBC1，作BC中点Q，则可知PQM为直角三角形PQ1，MQAC, ABC中，AC2AB2BC22ABBCcosABC412217，AC，则MQ，则M
4、QP中，MP，则PMN中，cosPNM又异面直线所成角为，则余弦值为.故选C.6如图所示，在三棱锥ABCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH为菱形，当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH是正方形解析：易知EHBDFG，且EHBDFG，同理EFACHG，且EFACHG，显然四边形EFGH为平行四边形要使平行四边形EFGH为菱形需满足EFEH，即ACBD；要使平行四边形EFGH为正方形需满足EFEH且EFEH，即ACBD且ACBD.答案：ACBDACBD且ACBD7(2019安庆市二模)正四面体ABCD中，E、F分别为边AB、BD的
5、中点，则异面直线AF、CE所成角的余弦值为_解析：如图，连接CF，取BF的中点M，连接CM，EM，则MEAF，故CEM即为所求的异面直线AF、CE所成的角设这个正四面体的棱长为2，在ABD中，AFCECF，EM，CM，cosCEM.答案：8.如图所示，是某正方体的平面展开图，在这个正方体中，BM与ED平行；CN与BE是异面直线；CN与BM成60角；DM与BN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_解析：如图所示，把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，显然BM与ED为异面直线，故命题不成立；而CN与BE平行，故命题不成立BECN，CN与BM所成角为MBE.MBE60，故正确；BC平面CDNM，B
6、CDM，又DMNC，DM平面BCN，DMBN，故正确，故填.答案：9已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，ACBDP，A1C1EFQ.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线；(3)DE，BF，CC1三线交于一点证明：(1)如图所示因为EF是D1B1C1的中位线，所以EFB1D1.在正方体AC1中，B1D1BD，所以EFBD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面(2)在正方体AC1中，设A1ACC1确定的平面为，又设平面BDEF为.因为QA1C1，所以Q.又QEF，所以Q.所以Q是与的公
7、共点，同理，P是与的公共点所以PQ.又A1CR，所以RA1C，R，且R.则RPQ，故P，Q，R三点共线(3)EFBD且EFBD，DE与BF相交，设交点为M，则由MDE，DE平面D1DCC1，得M平面D1DCC1，同理，点M平面B1BCC1.又平面D1DCC1平面B1BCC1CC1，MCC1.DE，BF，CC1三线交于点M.10如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小解：(1)如图，连接AC，AB1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，知AA1C1C为平行四边形，所以ACA1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角由AB1C中，由AB1ACB1C可知B1CA60，即A1C1与B1C所成角为60.(2)如图，连接BD，由(1)知ACA1C1.AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角EF是ABD的中位线，EFBD.又ACBD，ACEF，即所求角为90.EFA1C1.即A1C1与EF所成的角为90.1
