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1、哈尔滨学院本科毕业论文（设计）题目： 用高等几何的方法证明中学几何题 院（系）理学院专 业数学与应用数学年 级2007级姓 名赵润生学 号07031334指导教师姜秀英职 称副教授2011年6月8日目 录摘要.1ABSTRACT.2第一章 高等几何对中学几何的指导作用.3 1.1 几何学的对象和分类.3 1.2 对坐标系的认识.4 1.3 关于直线和二次曲线理论.5第二章 高等几何的一些基本理论.8 2.1 平行射影.8 2.2 仿射象和中心射影.9 2.3 透视保持交比不变.10 2.4 调和共轭.11第三章 用高等几何的方法证明中学几何题.14 3.1 利用平行射影证明中学几何题.14 3
2、.2 利用特殊仿射象证明中学几何题.15 3.3 利用中心射影，将直线投射到无穷远处.17 3.4 利用透视保持交比对中学几何题进行证明.18 3.5 利用调和共轭证明线段相等和角相等.19参考文献.21后记.22哈尔滨学院本科毕业论文(设计) 摘 要中学的几何证明题千变万化，精彩纷纭，有不少题目难于找到证明思路，高等几何为我们提供了解决中学几何证明题的一些方法，不仅能帮助教师思考问题，而且能启发我们获得初等证法，其证明过程还可以帮助我们发现新的中学几何命题，为中学生课外活动丰富了材料。本文从高等几何对中学几何的指导作用的探讨入手，把高等几何的理论应用到中学几何证明题中，通过具体实例论述了用高
3、等几何的方法来解决中学几何证明题的问题。关键词:平行射影；调和共轭；仿射象；中心射影； ABSTRACT Middle school geometry proof topic protean, nobody has many topics wonderful find proof ideas, difficult to higher geometry offers us solve middle school geometry questions of some methods, proved not only can help the teacher of thinking, and can
4、 inspire us obtain elementary proofs its proof process can also help us find new middle school geometry proposition, for high school students extra-curricular activities enriched material. This article from the higher geometry to middle school geometry guidance to let the discussion of higher geomet
5、ry theory applied to middle school geometry proof questions with concrete examples discussed higher geometry method to solve the problem of middle school geometry proof. Key words: Parallel projective; Harmonic conjugate; Affine like; Center projective; 第一章 高等几何对中学几何的指导作用 1.1 几何学的对象和分类什么是几何学？它研究的对象是
6、什么？这在中学教科书中虽然没有明确的定义，但初中平面几何开卷家告述读者，几何学要研究图形的“形状、大小和位置关系”虽然在中学几何中，已知图形的形状、大小是不变的，位置关系也是确定的。但是离开中学教本，却有不同的情况发生。 空间一矩形经太阳照射，在地面留下的影子，一般不在是矩形，这样矩形就变成了非矩形，矩形的形状大小不再有意义！当你站在笔直的铁路上眺望远处的铁轨时，在你的视觉下，本来平行的铁轨似乎相交了，平行和相交这两种在中学几何里不相容的位置关系在一定条件下同一了，区别平行和相交不在有意义！这些也是图型的性质，但却不是中学几何课本研究的性质，他们是几何学研究的对象吗？ “高等几何”通过克莱因观
7、点，给出了几何学的定义，并界定了各种几何学的对象和内容，对上述问题做出了回答。原来，几何学是与变换群联系在一起的。中学几何的主要内容是属于比较小的运动群附属的欧氏几何。除了运动群外，还有仿射群、射影群等。在仿射群附属的仿射几何学中，矩形可以变成平行四边形，矩形的概念失去了意义;在射影群附属的射影几何学中，平行的概念失去了意义，任何两条不同直线必然相交，平行四边形也失去了意义。因此，“研究图形的形状、大小和位置关系”可以作为欧氏几何的定义，但不能作为仿射几何和射影几何的定义。“高等几何”告述我们，在中学几何之外，还有广阔的几何学新天地，这不仅大开了读者的眼界，而且有助于读者站在新的高度上，深入了
8、解中学几何教材，从而提高对处理种教材的能力。 1.2 对坐标系的认识 用解析法研究几何学的基础是坐标系。坐标系的本质是将作为几何基本对象的点转化成有序数组的参照物，从而能将曲线转换成方程，使得用解析工具研究几何成为可能。从这种认识出发，高等几何分析直角坐标系，去掉作为参照物的多余条件，推广而得到仿射坐标系。再在奇次坐标系下，对仿射坐标改变看法，去掉特殊性而得到一般性的射影坐标系。反之，从一般射影坐标系出发，增加特殊条件得到仿射坐标系。再利用虚元素，从仿射坐标系得到直角坐标系。对于坐标系的这种从特殊到一般，又从一般到特殊的研究方法是极富启发性的，不但可以提高我们对坐标系的认识，而且对培养数学素养
9、也有一定的作用。 直角坐标系是保距变换下的不变坐标系，因而是研究欧氏几何的最适当坐标系；仿射坐标系是仿射变换下的不变坐标系因而是研究仿射几何的最适当坐标系；射影坐标系是射影变换下的不变坐标系，因而是研究射影几何的最适当坐标系。如果在欧氏几何中采用仿射坐标系，就会给计算带来麻烦。反之，由于角度和长度在仿射几何中没有意义，故在仿射几何中不宜采用直角坐标系。同样，由于在射影几何中没有向量的概念，故在射影几何中不宜采用仿射坐标系。 中学教材研究椭圆、双曲线和抛物线时，采用的是特殊的标准坐标系。在特殊坐标系下研究出来的几何性质是否是图形的固有性质？这种用特殊研究一般的方法是否合理？这是教师应当明确的。按
10、照克莱因观点，几何学研究的是在相应的变换群的变换下的不变性质和不变量，而作为这些变换的表达式，既可看成点的变换，又可看成坐标的变换。所以在变换群的变换下的不变性质和不变量，也可看成在相应坐标变换下的不变性质和不变量。因而刻画图形几何性质的不变性质和不变量是与坐标系的选择无关的。这就说明利用图形特征，选择与图形关系最密切的标准坐标系，来研究图形的几何性质是合理的，得到的结论是可靠的。这样做的好处是可以大大简化计算和避免不必要的讨论。在高等几何的研究中，针对不同图形的特征，利用特殊点、特殊之线、图形的对称性和点的平等性，选择适当坐标系的做法，将加深读者对坐标的理解，增强他们在解析几何中的教学能力 1.3 关于直线和二次曲线理论 直线形既是初等几何研究的对象，也是射影几何研究的对象。但是，由于抽象的范围不同，研究的内容也不尽相同，射影几何有高度的概括性，它的一切
