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1、专题 30 圆锥曲线中的最值问题【考情分析】与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成 为高考命题者青睐的一个热点。江苏高考试题结构平稳，题量均匀每份试卷解析几何基本上是1道小题和1道大题，平均分 值19分，实际情况与理论权重基本吻合；涉及知识点广虽然解析几何的题量不多，分值仅占总 分的13%，但涉及到的知识点分布较广，覆盖面较大；注重与其他内容的交汇。圆锥曲线中的最值 问题，范围问题都是考查学生综合能力的载体俗话说：他山之石可以攻玉在研究这几年外省新 课程卷解析几何试题时，就很有启发性比如2010年安徽卷理科19题，该题入题口宽，既可用传 统的联立直线
2、与曲线，从方程的角度解决，也可利用点在曲线上的本质，用整体运算、对称运算的 方法求解再比如2011年上海卷理科23题，主要涉及到中学最常见的几个轨迹，通过定义点到线 段的距离这一新概念设置了三个问题，特别是第三问，呈现给学生三个选择，学生可根据自已的实 际情况选择答题，当然不同层次的问题，评分也不一样，体现让不同的学生在数学上得到不同的发 展【备考策略】与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不 等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；（3）函数值
3、域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个 函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； 【激活思维】x2 y 21. 已知双曲线一 一 =1 （aO,bO）的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60的直线与双曲a 2b2线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是2, +8）x 2 y 22. P是双曲线片一订=1的右支上一点，M、N分别是圆（x+5） 2+y2=4和（x5） 2+y2=1上9 16的点，则|PM|PN|的最大值为乙43. 抛物线y=-x2上的点到直线4x+3
4、y-8=0距离的最小值是34. 已知抛物线y2=4x,过点P（4,0）的直线与抛物 线相交于A（xi，yi）,B（x2，y2）两点，则yj+yj 的最小值是 32122125. 已知点M（-2, 0），N（2,0）,动点P满足条件I PM 1 1 PN 1= 2迈记动点P的轨迹为W.uuur uuur（I）求W的方程;（II）若A, B是W上的不同两点，0是坐标原点，求OA- OB的最小值.解：（I）依题意，点P的轨迹是以M, N为焦点的双曲线的右支,所求方程为：刁2 m （x0）（II）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB 此时 A%,）, B（x0，X22 ）,的方程urx=x ,0OA
5、- OB =2当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y二kx+b.x 2y2代入双曲线方程可可=1中，得：（lk2）X2 2kbxb22 = 0 依题意可知方程1。有两个不相等的正数根，设A（xx, y：）,B（x2, y2）,则A = 4k2b2 -4(1-k2) (b2 -2) 0x + x 亠 0121 - k2解得|k|1.b2 + 2x x =0、1 2 k2 1 uuur uuur又 OA- OB =x x+y y =x x+(kx+b) 1 2 1 2 1 2 1=(1+k2)x x +kb(x +x )1 2 1 2uuur uuur综上可知OA - OB的最小值为2kx
6、+b)22k2+2+b2=2 +4k212典型示例】求抛物线y = X2上的点到直线4 x + 3 y 8 = 0距离的最小值?分析一：设抛物线上任一点坐标为P（x o，记），x 2 2014x 3x 2 81 3(x o 3)2 + 可 4由点到直线的距离公式得P到直线的距离d(x )=00=一T，055324当x =时，d(x )取得最大值丁,0 303分析二：设抛物线上点卩（x，- x2）到直线4x+3y-8=0距离最小,00则过P且与抛物线相切的直线与4x+3y-8=0平行,4224故y( xo)=-2 xo =-3，:xo = 3，:P(3，-9)，14 x 2 + 3 x( 4)
7、81此时 d=39分析三：设直线方程为 4x+3y+C=0则当l与抛物线相切时l与4x+3y-8=0间的距离为所求最小，y = x 24由 得 4x-3x2 +C=0,A=16+12C=0, .c=-三，此时4 x + 3 y + C = 034I 8 ( )1d=3_5分类解析】例1:已知椭圆25 +=1，A（4，0），B （2, 2）是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求：（1）求41 pA1 + 1 PB 1的最小值；（2）求1 PA1 + 1 PB 1的最小值和最大值yJBAQA /7分析：（1） A为椭圆的右焦点。作PQ丄右准线于点Q,I PA I 4则由椭圆的第二定义|-pQ|二e二
8、5 , 5 I PA I + I PB 1=1 PQ I + I PB I,4显然点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点，最小174（2）由椭圆的第一定义，设C为椭圆的左焦点,则 I PA I= 2a-1 PC I I PA I +1 PB I=I PA I= 2a-1 PC I= 10 + (I PB I -1 PC I),根据三角形中两边之差小于第三边，当P运动到与B、C成一条直线时，便可取得最大和最小值。 当P到P位置时，I PB I -1 PC I=I BCI, I PA I +1 PB I有最大值，最大值为10 + I BC I= 10 + 2屁;当 P 到 P 位置时， IPBI-
9、IPCI= -IBCI ， IPAI+IPBI 有最小值，最小值为10-1 BC I= 10 - 2 而.（数形结合思想、椭圆定义、最值问题的结合）变式:点A （3, 2）为定点，点F是抛物线y2=4x的焦点，点p 在抛物线y2=4x上移动，若|PA| + |PF| 取得最小值，求点P的坐标。解：抛物线y2=4x的准线方程为x=-i,设P到准线的距离为d,则|PA| + |PF |=| PA|+d。要使|PA| + |PF取得最小值，由图3可知过A点 的直线与准线垂直时，|PA| + |PF取得最小值，把y=2 代入 y2=4x,得 P （1, 2）。例2:已知椭圆的中心在0,右焦点为F,右准
10、线为L,若在L上存在点M,使线段0M的垂直平分线 经过点F,求椭圆的离心率e的取值范围？r解：如果注意到形助数的特点，借助平面几何知识的最值构建使问题简单化，由于线段0M的垂直 平分线经过点F,则MF = OF = c,利用平面几何折线段大于或等于直线段（中心到准线之间的距离），椭圆的离心率e的取值范围椭圆的离心率e的取值范围为 0,b 0)的左、右焦点分别为F、F ,点P在双曲线的右支上， a2 b2 1 2且|PF=4|PF2|,求此双曲线的离心率e的最大值？5解：双曲线的离心率e的最大值为3x2 y 2变式2:已知椭圆方程为+ 一 = 1，( 0 a 1 )短轴的一个端点，Q为椭圆上的一
11、个动点, a2求| PQ | 的最大值.解法 1:依题意可设 P (0, 1 ), Q (x , y ),贝川 PQ | = 1,W1,1,a2yja2 _ 1当y = 时，I PQ I取最大值1 _ a2a2 _1若1 a：2，则当y = 1时，I PQ I取最大值2 . 解法2:设 P (0, 1 ), Q (acos9 , sin9 ),贝yI PQ |2 = a 2 cos 2 0+ (sin 0 _ 1)2(1 _ a 2 ) sin 2 0 一 2 sin 0 + a 2 + 111(1 _a2) (sin 0 _)2 一+ a2 + 1.1 _ a 21_ a2注意到I sin
12、0 | W 1,变式2:已知 OFQ的面积为2屈,OF FQ = m(1)设 m 1以下的讨论与解法1相同.(2)设以0为中心，F为焦点的双曲线经过点Q (如图),urnr：6uunI OF I二 c, m 二(_ 1)c2 当 I OQI取得最小值时，求此双曲线的方程。解析汕盛Z0FQ =011 OF I I FQ I cos(兀 _0) = m4 ；g 1 uur uurn tan 0 =2 I OF I I FQ I sin 0 = 2品mQ 6 m 46_4 tan 0 0,b 0), Q(x , y ),贝FQ = (x _ c, y ) 1 1 11斗4J6片= 1ca2 b21 uur_ S = I OF I I y I= 6， aofq 2
