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1、课后限时集训59圆锥曲线中的范围、最值问题建议用时:45分钟1在平面直角坐标系中,圆O交x轴于点F1,F2,交y轴于点B1,B2.以B1,B2为顶点,F1,F2分别为左、右焦点的椭圆E恰好经过点.(1)求椭圆E的方程;(2)设经过点(2,0)的直线l与椭圆E交于M,N两点,求F2MN面积的最大值解(1)由已知可得,椭圆E的焦点在x轴上,设椭圆E的标准方程为1(ab0),焦距为2c,则bc,a2b2c22b2,椭圆E的方程为1.又椭圆E过点,1,解得b21.椭圆E的方程为y21.(2)点(2,0)在椭圆E外,直线l的斜率存在设直线l的方程为yk(x2),M(x1,y1),N(x2,y2)由消去y
2、得,(12k2)x28k2x8k220.由0,得0k2,从而x1x2,x1x2,|MN|x1x2|2.点F2(1,0)到直线l的距离d,F2MN的面积S|MN|d3.令12k2t,则t(1,2),S3333,当,即t时,S有最大值,Smax,此时k.当直线l的斜率为时,可使F2MN的面积最大,其最大值为.2.如图,已知抛物线x2y,点A,B,抛物线上的点P(x,y).过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围;(2)求|PA|PQ|的最大值解(1)设直线AP的斜率为k,kx,因为x,所以直线AP斜率的取值范围是(1,1)(2)联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是xQ
3、.因为|PA|(k1),|PQ|(xQx),所以|PA|PQ|(k1)(k1)3.令f(k)(k1)(k1)3,因为f(k)(4k2)(k1)2,所以f(k)在区间上单调递增,上单调递减,因此当k时,|PA|PQ|取得最大值.3.已知椭圆C:1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆与直线ax2byab0相切(1)求椭圆C的离心率;(2)如图,过F1作直线l与椭圆分别交于P,Q两点,若PQF2的周长为4,求的最大值解(1)由题意知c,即3a2b2c2(a24b2)(a2b2)(a24b2)化简得a22b2,所以e.(2)因为PQF2的周长为4,所以4a4,得a,由(1)知b21,所以椭圆C的方程为y21,且焦点F1(1,0),F2(1,0),若直线l的斜率不存在,则直线lx轴,直线方程为x1,P,Q,故.若直线l的斜率存在,设直线l的方程为yk(x1),由消去y并整理得(2k21)x24k2x2k220,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1x2,x1x2,(x11,y1)(x21,y2)(x11)(x21)y1y2(k21)x1x2(k21)(x1x2)k21(k21)(k21)k21,由k20可得.综上所述,所以的最大值是.1