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1、数列通项公式的九种求法各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强 的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。笔者总结出九种求解 数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列 类型的题目例1.等差数列an是递增数列，前n项和为Sn，且ai a3 a9成等比数列，3二求 数列an的通项公式解：设数列an公差为d(d 0).a, a, aa2 a a139成等比数列，31 9 ,即(a + 2d)2 a (a + 8d) 得 d2 a dd丰0 ,ai dS a 2
2、 55-d (a + 4d)215x45a +_ 3_5a由得： 1a 二+ (n -1)n51 233x n555点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差(公比)后再 写出通项。二、累加法求形如a -a f(n) (f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列)的数列通项，n n 一1可用累加法，即令n=2，3，-n1得到n1个式子累加求得通项。1a a +例2.已知数列an中，a1,对任意自然数n都有一1 n(n +1)，求1a - a 解：由已知得n n-1 n(n +】),1a - a n-1n-2(n 1)n，11 , ,累加11aan - 1 =1 _ 1=2
3、 n +1 ,上1+ +(n-2)n-1) (n-1) n(n+1)2x331a 一n 2 n +1用n(n+1) n n+1 得点评：累加法是反复利用递推关系得到n1个式子累加求出通项，这种方法最终转化为求f(n)的前n1项的和，要注意求和的技巧.三、迭代法求形如”+广qan + d (其中q，d为常数)的数列通项，可反复利用递推关系迭代求出。 例3.已知数列a 满足a.=1，且a二3a +1，求a” .n1n +1n3n 1解：an=3an +1=3(3an 2+1)+1=32an 2+3x 1+1=3n-1a1+3n-2x 1+3n-3x 1+-+3x 1+1=2点评：因为运用迭代法解题
4、时，一般数据繁多 导致走进死胡同.四、公式法迭代时要小心计算，应避免计算错误，式；解：若已知数列的前n项和Sn与an的关系，S n 1 2七辭nn1求解。 IS S已知数列3的前n项和Sn满足Sn例 4.2anS 2a 一 1,得1a由1当n 2时，a 2a nn 1a 1.11有 a S S 2(a有 nnn 1+ 2 x (1)n 1,ann 1a 2 a + 2 x ( 1)n 2 , n 1n 2.a 2n1a +2n1x(1 )+2n2 x(1 )2 + n12n1 + (1)n(2)n1 + (2)n2 + (2)a = 2a 2.21+2X(1)n1求数列I的通项可用公式+ (1
5、)nn - 1.求数列S 的通项公=2n1 (1)n 21-(-2)n-1=|2n-2 + (1)n1.21a 2n -2 + (1)n1 经验证a1 1也满足上式，所以n 3 Sn点评：利用公式时一定要合并.五、累乘法 f (n) 对形如 an 子累乘求得通项。Sn Sn1n - 2求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写的数列的通项，可用累乘法，即令n=2, 3,n1得到n1个式n 中，例5.已知数列中，3 3，前n项和Sn与3的关系是Sn n(2n1)an，求通项公解:由 T 心-1)an 得 Sn1- 一两式相减得：(2n +比(2n - 3叫一J，a2n 一 3a2n 一 5a1 .
6、n一n1 , 2 a2 n +1a2n 一1a5n-1，n-21将上面n1个等式相乘得：a (2 n 一 3)(2n - 5)(2 n 一 7)3 ：1 二 3a(2 n + 1)(2n - 1)(2n - 3) 7 - 5(2 n + 1)(2n -1)1a .n(2 n + 1(2n -1)点评：累乘法是反复利用递推关系得到n1个式子累乘求出通项，这种方法最终转化 为求f（n）的前n1项的积，要注意求积的技巧.六、分 n 奇偶讨论法在有些数列问题中，有时要对n的奇偶性进行分类讨论以方便问题的处理。例6已知数列an中，a1=1且anan+1=2（4）n求通项公式、 、 1（丁）n（刀）n+1
7、a 解：由 anan+1=2 4 及 an+1an+2=2 4，两式相除，得 n = 4，则 a1?a3,a5,a2n 1，11和a2,a4，a6,a2n，都是公比为4的等比数列，又a1=1,a2= 2，则:(1)当n为奇数时,1 n11一#1 1 n21一#a = 1 - ( ) 2 = 4 2a = ( ) 2 = 4 2a 4丁n 4; (2)当n为偶数时，n 2 4.综合得 4 2点评：对n的奇偶性进行分类讨论的另一种情形是题目中含有（-1）n时，分n为奇偶即 可自然引出讨论分类讨论相当于增加条件,变不定为确定注意最后能合写时一定要合并。 这是近年高考的新热点，如05 年高考江西卷文科
8、第21 题七、化归法想方设法将非常规问题化为我们熟悉的数列问题来求通项公式的方法即为化归法同时，这也是我们在解决任何数学问题所必须具备的一种思想。1例7已知数列3满足15且当n 1,n g N * 时,有 2n 1 +1求 ana1一 2annn 2时，由纟e 解：当an得a a 4a a 0n-1nn-1 na a 得,2a + 1n11 2 an1 1 4 对 n 1且 n g N *即a a ,nn 1丄是以成立，a n首项为 5，公差为 4 的等差数列4两边同除以n n131丄-丄 + (n - 1)d 4n +1,所以,a a an4n + 1n1丄彳点评：本题借助 an 为等差数列
9、得到了 an 的通项公式，是典型的化归法常用的化归还有取对数化归，待定系数化归等，一般化归为等比数列或等差数列的问题，是高考中的 常见方法八、“归纳猜想证明”法 直接求解或变形都比较困难时，先求出数列的前面几项，猜测出通项，然后用数学归纳 法证明的方法就是“归纳猜想证明”法例8.若数列n 满足：1=1,an+广巴+ 3x2T计算a2, a3, a4的值，由此归纳出a 的公式，并证明你的结论解: a2=2 fl1+3X2 =2X1+3X2,a=2 (2X1+3X2) +3X21=22X1+2X3X21,a4=2( 22X 1+2X 3X 21) +3X 22=23X 1+3X 3X 22；猜想
10、an=2n1+(n1)X3X2n2=2n2(3n1)；用数学归纳法证明：1当n=1时，a1=2-1 X=1,结论正确；2 假设 n=k 时，ak=2k-2 (3k1)正确，.:当 n=k+1 时，a = 2a + 3 x 2 k-1 =2k-1 (3k 1) + 3 x 2 k-1k+1k= 2k -1 (3k + 2) = 2(k+1)-13(k +1) -1,结论正确；由 1、2 知对 nN*有 an = 2n2(3n 1).点评：利用“归纳猜想证明”法时要小心猜测，切莫猜错，否则前功尽弃；用数学 归纳法证明时要注意格式完整，一定要使用归纳假设.九、待定系数法(构造法)求递推式如an+1
11、Pan + q(P、q为常数)的数列通项，可用待定系数法转化为我们熟 知的数列求解，相当如换元法。例9.已知数列an满足a1=1，且an+1 = 3an +2,求an .解:设 an+1 + t 3(an + t)，则 +1 二叫 + ，t = 1，+1 + 1 = 3(an + 1) - an + 1为等比数列，a +1 = (a +1) - 3n-1 = 2 - 3n-1 a = 2 - 3n-1 1n1， n点评：求递推式形如an+1 Pan + q(P、q为常数)的数列通项，可用迭代法或待定系qq数法构造新数列a+1+ P -1 =p(a + P -1)来求得，也可用“归纳一猜想一证明
12、”法来求，这也 是近年高考考得很多的一种题型.例 10.已知数列an 满足 a1 = 1，an = 3n + 2an-1 ( - 求 3十解：将n = 3n + 2”-1两边同除3 ,an = 1 +得 3 n2an-13a2 an = 1 +n-1变形为 3n3 3n-1b = 1 + b，则 n 3 n-1 .令2 2 1b -1 二 3(b -1)，艮卩 b 二二 b +二 tn-1n 3 n -1 3 ，23为公差的等比数列.b - 3 二 2 (b - 3)得t = 3 .条件可化成n 3 n-1b 3是以b 3 二作3 =- 数列 n133 为首项，b - 3 二-8 x (2)n
13、33n 一1b a因 n3n，所以 S - n = 3n (一 3 X 弓1 + 3)得 an = 3n+1 一 2n+ 2apn 11 二 pa + qn+i点评：递推式为a+1nb _令qn从而化归为an+1 Pan + q（p、q为常数）时，可同除qn+1,得qn+1 qtn + 1 q n ，例 11已知数列a - sa解：设 n+2n+1n+1展开后，得an+2 (t + S)a21s +1 , st 一一由33p、q 为常数）型2a3 a 1,a = 2, a a 12n+2n 满足 t (a- sa ).n- tsa n +1n 1+ a .n+13 n 求 ana 一 a条件可以化为 n+21s = 1,t 二解得3二-1(a- a ).3n+1n +1n得数列an+1 - aa 一 a (- )n-
