《用数形结合的方法解题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《用数形结合的方法解题（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1引言数与形是数学中最古老最基本的研究对象。华罗庚教授说过：“数缺形时少直观， 形缺数时难入微。”数与形各有特定的含义、但他们之间相辅相成、相互渗透、相互转 化。数形结合思想是重要的解题方法，是每年高考必考的重要内容，数形结合应用解题 能力与学生成绩呈显著的正相关。解题时将问题转化为与之等价的图形问题，可以直观 的使问题简捷获解。实现数形结合常与以下内容有关：实数与数轴上的点的对应关系; 所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义；以几何元素和几何条件为背景建 立起的概念；函数与图像的对应关系；,曲线与方程的对应关系。应用数形结合思想 不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算推理，大大简化
2、解题过程，这在解选 择、填空题中更为显著培养这种思想意识能开拓自己的思维视野。2文献综述2.1国内外研究现状数形结合作为高中数学中非常重要的思想方法，很早就引起了许多专家学者的关 注。自笛卡尔创造了平面直角坐标系，数形结合的思想得到了突飞猛进的发展。文献 中叶立军谈到：“数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好隔离分家万事 休。”近些年来，国内外仍有许多学者发表了对数形结合思想的应用研究，文献2-3中 介绍了数形结合在概率统计和数列中的应用。文献4-6通过总结图形结构与数式结构提 出了数形结合的两个主要途径。文献7-10认为数形结合可以直观快速解决很多问题， 但转化时要遵循转化等价原则。
3、不过由于数形结合思想应用范围极其广泛，所以我认为 目前对数形结合思想的研究仍有很大的空间。2.2国内外研究现状评价文献11-13中介绍了许多数形结合的途径和方法，其中研究解决函数各类文章最 多，集中于判断两函数图像交点个数及其他函数性质。对于数形结合在高中数学各种问 题的研究并不够全面。2.3提出问题如今数形结合有着广泛的应用，即把数学与几何图形相结合，化繁为简，化抽象为 具体，直观快速地抓住问题的本质与要害，可使解题起到事半功倍的效果。然而一个不 争的事实是一学生利用数形结合在高中数学解决问题的现状并不乐观。因此对数形结合 在高中数学各知识点进行全面研究是有必要的。3数形结合思想概述2、数形
4、结合思想的概念数和形是高中数学研究的两大部分，他们之间相互转化，把抽象的数学语言、数量 关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”和“以数助形”使复杂问题 简单化，抽象问题具体化，从而提高解题效率。以形助数通常是借助数轴、单位圆、函数图象数式的结构特征等。以数助形通常是借助向量知识、几何图形表示的数量关系、几何定理等。2、数形结合思想应遵守的原则(1) 等价性原则。数与形的相互转化要求所讨论的问题与数与形所反映的对应关 系必需一致，即代数性质和几何性质的转换必须是等价的否则会由于几何的局限性导 致表示的数不完整。(2) 双向性质原则。利用数形结合思想一方面要对直观几何进行分析，另
5、一方 面要对代数抽象作探索，两方面相辅相成。如只对几何问题进行代数分析或对代数问题 进行几何分析，在很多时候是很难行得通的。(3) 简单性原则。简单性原则就是用什么方法解题简单就用什么方法，不要刻意去追求某一种模式代数问题用几何方法，几何问题用代数方法。3、数形结合思想的的解题方法(1) 图示法如集合运算中的韦恩图，它常常用来显示数学对象间的关系。(2) 区域法如用不等式的几何意义表示平面区间。(3) 坐标法如方程式图形和函数图象它常来表示二元变量坐标间的关系。(4)特征法如借用连续函数图象显示数列,4数形结合思想在解题中的应用4.1在集合中的应用?和公式的量化特征。/补运算的考查是检验掌握知
6、识6集合是高中数学的第一处概念建立的基础，对集合含义、交并面直角坐标系以及韦恩图表示集合,利用数形结合能快速解决集合问题。例丄若集合A = Ux,y)lx = 5cos& y = 5sin0(0?)L f 集合 B = (x5 y) y = x+b且贝IJb的取值范围为解析：集合A可以变为A = u,y)/x2 + y2 = 25,0 y 5),显然，A表示以(0, 0)为圆心，以5为半径的圆在X轴的上方的部分，表示斜率为K = l,纵截距为b的直 线 要使人门巧工久 即使直线y = x+b与圆，+才=25 (x轴上半部分)有公共点。由图 1 知-5b/2.4.2在函数中的应用函数问题是高中数
7、学的一大重难点，然而若注重函数的几何特征,把函数求值的代数 问题通过数形结合的运用转化为两点距离问题、斜率问题、直线的纵截距问题等，则可 使问题迎刃而解。例2已知函数F (x) = |x2-4x + 3|,求函数F(x)的单调区间，并指出单调性。解析：当宀4x+3X0即x51或宀3时，F (x) = x2-4x+3当宀 4x+3W0 即 1vxv3 时，F (x) = -x2+4x-3命|、丿匸(、/(x-2)2-l(x3)所以F (x) = ,-(x-2)2 + 1(1x3)如图2所示所以函数F（x）的单调区间有：（8, 1, 1,2, 2, 3, 3, +8）.其中增区间是1,2 与3,
8、+ 8）,减区间是（-00,丄与2,3.4.3在数列中的应用若加强数列中有关数形结合思想方法的应用，可加深对问题的认识，从而抓住问题 的本质构造几何图形突破数列问题。例3若数列%为等差数列，4 = 6坷=卩求竹丸.解析：设P 0,解析：常规方法：原不等式化为 x2,v0,a + 20,解得0x2 ；解得-2x0.由(1) (2)可得匕 | 0x2或-2GV0二x | -2xx的解就是使）、=厶+2的图像在）2 = x的上方的那段对应的坐标轴，如图4所示 不等式的解集为匕| aaxab,由= x可解得xb = 2.所以有-rA = -2.故不等式的解集为匕I -2x 0例5设关于X的不等式组 0
9、图5解析：如图5要使可行域存在，必有/?-2/77+1,要求可行域内包含直线y =上的点，只要边界点（-耳1-2加）在直线y =-1上方，且（-加，加）在直线y = -x-i下方,m -m得m-2 31 |m 加一 124.6在向量中的应用b2向量是沟通代数、几何与三角函数学学科中具有广泛的应用。平面向量白八 y、它有着极其丰富的实际背景，在数o曾加的最重要内容，由于它的加入，代数和几何的研究全面改观。数形结合臬高考的重要思想之一，而平面向量则为数形结合 铺就了道路。例6在平面上硯丄巫，p瓦卜匹卜1,丽=両+方瓦则网的取值范围是图6解析：根据已知条件，A,坊，p,坊构成一个矩形ABPB一 AB
10、l, A4所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图6所示，设|45| = o|Ad| = b,点0的坐标为（x）,则(x-a)2 + y2 =1 x2 +(y-b)2 =1Cx-a)2 =i-y2 (y-b)2 =l-x2又由|o?| i,得(x-C + Cyb)扌,则 1小 + 1_，# 又由(x-a)2 + y2 =1,得x2 + y2 +a2 =l+2ax l + a2 + x2, JjlJ y2 1 ；同理有x2+(y2-b)2 =1,得x2 1,即有x2 + y2 2由知#扌+才52,所以yjx2 + y2 V2. 而网=圧歹所以|网|G4|的概率。解析：将线段/3放在数轴何以A为原点，
11、点的坐标为厶，设CD的坐标分别为（兀刃、（果都在如图9所示的正方形内,C）|C4|,即卜一数据力 L I L I L 12.518.524.530.5cL Q则所求概率为戶=邑=生=2S止方形匕 4A 1rV导数是高中数学中重要部分，也晟较难的一部分。利用导数研究函数的极值、单调 区间、实际应用或证明不等丄，尤其是题目中含有参数需要分类讨论时，使得本已抽象 的问题更加复杂化，学生在学习和解答时，大多十分茫然，不知从何下手。然而将抽象 的数学语言与直观的图象结合起来，也就是对题目中的条件和结论既分析其代数含义又 挖掘其几何背景，在代数与几何的结合上寻找解题思路，使要解决的数的问题转化为形 的讨论，实现“由一种代数形式转化为一种几何形式”的数学化归。X例9已知函数f(x) = (x-k)2e(I )求f(X)的单调区间；(II)若对于任意的xw(O,+s),都有fW0求得函数f(X)的单调递增区间
