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1、第七章 定积分的应用一 、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1掌握定积分的微元法.2会用定积分的微元法求平面图形的面积.3会用定积分的微元法求旋转体的体积.4会用定积分的微元法求变力所做的功.5会用定积分的微元法求液体的侧压力.重点 定积分的微元法，利用微元法求平面图形的面积和旋转体的体积.难点 定积分的微元法，微元法在实际问题中的应用.（二）内容提要1定积分的微元法(1)在区间上任取一个微小区间,然后写出在这个小区间上的部分量的近似值,记为(称为的微元)；（2）将微元上无限“累加”，即在上积分，得 上述两步解决问题的方法称为微元法.关于微元，我们有两点要说明：作为的近似表达式，应该足够准确
2、，确切地说，就是要求其差是关于的高阶无穷小，即.称做微元的量，实际上就是所求量的微分.具体怎样求微元呢？这是问题的关键，需要分析问题的实际意义及数量关系。一般按在局部上以“常代变”、“直代曲”的思路（局部线性化），写出局部上所求量的近似值，即为微元.2.面积微元与体积微元（1）面积微元由曲线轴所围成的图形,其面积微元,面积.由上下两条曲线所围成的图形，其面积微元，面积.由左右两条曲线所围成的图形，其面积微元，面积（注意，这时应取横条矩形为，即取为积分变量）.（2）体积微元不妨设直线为轴，则在处的截面面积是的已知连续函数，求该物体介于和 之间的体积.用“微元法”.为求出体积微元，在微小区间上视不
3、变，即把上的立体薄片近似看作以为底，为高的柱片，于是其体积微元，再在的变化区间上积分，则有.3弧微元与平面曲线弧微分公式设曲线在上有一阶连续导数,仍用微元法，取为积分变量，在上任取小区间，切线上相应小区间的小段的长度近似代替一段小弧的长度，得弧长微元为 ,这里 .二 、主要解题方法（微元法）1求平面图形的面积的方法 例1 求下列曲线所围成的图形的面积(1)抛物线 与直线， (2)圆 .解 (1)先画图，如图所示，并由方程， 求出交点为（2，），（8，2）.解一 取为积分变量,的变化区间为，2，在区间，2上任取一子区间，+ ，则面积微元 =, 则所求面积为 = = （）=9.解二 取为积分变量，
4、的变化区间为0，8，由图知，若在此区间上任取子区间，需分成0，2，2，8两部分完成.在区间0，2上任取一子区间， +，则面积微元 1=,在区间2，8上任取一子区间， +， 则面积微元 2= , 于是得=1+2=+=+=9 . 显然，解法一优于解法二。因此作题时，要先画图，然后根据图形选择适当的积分变量，尽量使计算方便.(2) 如图，利用极坐标计算.的变化区间为，则面积微元 =, 于是所求图形的面积为=2,利用对称性，得 =4=2=2（+）=,事实上，表示一个半径为的圆.面积 =是正确的.小结 计算面积时要注意：（1） 适当选择坐标系，以便简化计算.如题（2）若采用直角坐标系计算就比较麻烦.一般
5、地曲边梯形宜采用直角坐标系，曲边扇形宜采用极坐标系.（2）要考虑图形的对称性.（3）积分区间尽量少分块.2求旋转体体积的方法例2 求由曲线, 直线 ,绕轴旋转一周而形成的立体体积.解 先画图形，因为图形绕轴旋转，所以取为积分变量，的变化区间为1,4，相应于1，4上任取一子区间,+的小窄条，绕轴旋转而形成的小旋转体体积，可用高为，底面积为的小圆柱体体积近似代替，即体积微元为 =, 于是，体积 =1616=12.小结 求旋转体体积时，第一要明确形成旋转的平面图形是由哪些曲线围成，这些曲线的方程是什么；第二要明确图形绕哪一条坐标轴或平行于坐标轴的直线旋转,正确选择积分变量，写出定积分的表达式及积分上
6、下限.3 求曲线的弧长的方法例3 (1)求曲线 上从0到3一段弧的长度,(2)求圆的渐开线方程 ,上相应于从0到的一段弧的长度.解 (1) 由公式 = （ ）知,弧长为=.(2) 因为曲线方程以参数形式给出，所以弧微元为 , =, = ,故 = , 故所求弧长为=.4求变力做功的方法例4 设有一弹簧，假定被压缩0.5cm时需用力1N（牛顿）,现弹簧在外力的作用下被压缩3cm，求外力所做的功.解 根据胡克定理，在一定的弹性范围内，将弹簧拉伸（或压缩）所需的力与伸长量（压缩量）成正比，即= （为弹性系数）按假设 当 =0.005m时 ，=1N， 代入上式得 =2N/m,即有 =200,所以取为积分
7、变量，的变化区间为0，0.03，功微元为 =200,于是弹簧被压缩了3cm时，外力所做的功为 =0.09（J）.5求液体对侧面的压力的方法例5 一梯形闸门倒置于水中，两底边的长度分别为，（）,高为，水面与闸门顶齐平，试求闸门上所受的压力.解 取坐标系如图所示,则的方程为 , 取水深为积分变量，的变化区间为0，在0，上任取一子区间， +，与这个小区间相对应的小梯形上各点处的压强= (为水的比重), 小梯形上所受的水压力=()=2（） 小梯形上所受的总压力为 =2=2=2（）=（）.三、学法建议1本章的重点是定积分的微元法，利用微元法求平面图形的面积和旋转体的体积.学好本章内容的关键是如何应用微元
8、法，解决一些实际问题，这也是本章的难点.2首先要弄清楚哪种量可以用积分表达，即用微元法来求它，所求的量必须满足 （1）与分布区间有关，且具有可加性；（2）分布不均匀，而部分量可以表示出来.3用微元法解决实际问题的关键是如何定出部分量的近似表达式，即微元.如面积微元，功微元.微元一般是部分量的线性主部，求它虽有一定规律，可以套用一些公式，但我们不希望死套公式，而应用所学知识学会自己去建立积分公式,这就需要多下工夫了.4用微元法解决实际问题应注意：（1）选好坐标系，这关系到计算简繁问题；（2）取好微元，经常应用“以匀代变”“以直代曲”的思想决定的线性主部，这关系到结果正确与否的问题.（3）核对的量纲是否与所求总量的量纲一致.1
