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1、第7章 在科技及工程中的应用实例17.1 由拉压杆组成的桁架结构17.2 格型梯形滤波器系统函数的推导17.3 计算频谱用的DFT矩阵27.4 显示器色彩制式转换问题47.5 人员流动问题57.6 二氧化碳分子结构的振动频率57.7 二自由度机械振动67.8 FIR数字滤波器最优化设计1287.9 弹性梁的柔度矩阵97.10 用二次样条函数插值5个点117.11 飞行器三维空间运动的矩阵描述127.12 金融公司支付基金的流动147.13 质谱图实验结果分析157.14 用特征方程解Fibonacci数列问题167.15 简单线性规划问题18 第7章 在科技及工程中的应用实例7.1 由拉压杆组
2、成的桁架结构图7-1 由拉压杆件组成的桁架结构由13根拉压杆件组成的桁架结构，如图7-1所示，13个平衡方程已给出，它们来自6个中间节点，每个节点有x,y两个方向的平衡方程，还有一个整体结构的y方向平衡方程。现求其各杆所受的力。解：按照题给方程组改写成矩阵形式，令列方程时假设各杆的受力均为拉力，其相应的方程组及化为矩阵后的形式为：将它看作A*F=B，编成的程序为pla701，核心语句为给A,B赋值，再求F=AB，结果为：F= -7236; 5117; 2000; -6969; 2812; 5117; -4883; -3167; 1883; 6969; -6906; 4383; 4883 图7-
3、2 三阶格型梯形滤波器的结构图其中负号表示杆受的是压力。7.2 格型梯形滤波器系统函数的推导使用计算机解题后，用矩阵模型几乎是最简便的数学方法了。这将给后续课的建模和计算带来革命性的好处。例如要求出图7-2所示的滤波器的系统函数： 先列出方程，令q=z-1，得到x1= u- k3x4; x2=x1; x3=k3x2+x4; x4=qx7; x5= x2- k2x8; x6=x5;x7=k2x6+x8; x8=qx11; x9= x6- k1x12; x10=x9; x11=k1x10+x12; x12=qx10; x13=y= C0x12+ C1x11+ C2x7+ C3x3这是一组含有13个
4、变量的13个联立方程，用过去的手工方法一个一个消元，理论上是可行的，但它运算极其繁琐，可以预期，95%以上的师生恐怕一个小时也解不出来，而且做对的概率极低。用矩阵的思路和方法来解就完全不同，它不是通过消元来减少变量，而是想办法补上所有的零元素，把方程扩充为完整的矩阵形式： 看似把模型搞复杂了，其实计算却非常容易。程序pla703先对P，Q矩阵赋值，键入，马上就得出了系统函数。编程时要注意，本例虽然是数值计算，但计算的内容中带有z变换算子q=z-1，所以P，Q矩阵仍然必须用符号属性，对P，Q赋值时第一个元素必须取含q的算式。熟练后不必列出Q和P的矩阵形式，可以按其下标规律直接进行元素赋值。用以下
5、参数：k0=1, k1=1/4, k2=1/2, k3=1/3, C0=-0.2, C1=0.8, C2=1.5, C3=1，编成了程序pla703。运行此程序就得到：用矩阵模型解信号流图的最大优点是一步到位，依靠计算机，既快速，又极易查错。7.3 计算频谱用的DFT矩阵有限长序列x(n)(0nN-1)有N个样本值。它的傅里叶变换在频率区间（02）的N个等间隔分布的点k=2k/N(0kN-1)上也有N个样本值。这两组有限长的序列之间可以用简单的关系联系起来： 其中是一个相角为的单位向量，也称为旋转因子。X(k)就称为x(n)的离散傅里叶变换(DFT)，也就是x(n)的频谱。用矩阵来表示,可写成
6、:所以信号频谱的计算，可以简单地用一个矩阵乘法来完成。信号是N1维数组，矩阵W称为DFT矩阵，它是NN维的复数阵。把矩阵乘法看作一个变换，我们就可以把频谱计算看作信号从时域到频域的线性变换。这个矩阵运算可用下列几条MATLAB语句来实现，程序名为pla704。xn=input(xn=(长度为N的数组) ), N=length(xn); % 输入数据n = 0:1:N-1; k = 0:1:N-1; % 设定n和k的行向量WN = exp(-j*2*pi/N); % 设定Wn因子nk = n*k; % 产生一个含nk值的N乘N维的整数矩阵WNnk = WN . nk; % 求出W矩阵Xk = x
7、n * WNnk% 求出离散傅里叶级数系数plot(k,Xk) % 画出幅频特性前两条语句无须解释。第三条语句把n转为列向量n，再与行向量k做矩阵乘，它产生的是一个整数矩阵： 图7-3 序列x(n)及其频谱这个整数方阵恰好是算式中W矩阵的指数部分。第四条语句就产生了W矩阵，而最后一条语句就完成了DFS的全部运算。由于实际上离散傅里叶级数并不太用到。它已被下节将介绍的离散傅里叶变换取代，而且两者的计算程序是完全相同的。所以如果写成MATLAB子程序，它可以命名为DFT。在这5行DFT子程序前面，加上输入语句：xn=input(xn= ); N=length(xn);在子程序后面，加上绘图语句：s
8、ubplot(2,1,1),stem(xn,.); subplot(2,1,2),stem(abs(Xk),.)就得到本题的程序pla604。运行pla604，并按提示输入xn，即可在子图1上得到xn序列的波形，并在子图2上得到此信号的幅频特性。例如输入序列为xn=ones(1,64),zeros(1,192)，则得到的时域波形及其频谱图如图7-3。计算每一个DFT分量X(i)，需要做N次复数乘法和N-1次复数加法。而要完成整个DFT，求出X，则需要做NN次复数乘法和N(N-1)次复数加法。另外，它占的数据存储量为NN。在频谱计算中，N的典型值是1024。所以参与运算的数据达百万，需要的存储量
9、超过16M， 乘法运算的次数超过数百万。因此，在低档的微机上，当N较大时，MATLAB会拒绝执行这个程序，并警告内存不足。实际上，MATLAB内置的是加快计算并节省内存快速傅里叶变换(FFT)程序。从这里也可以看出，矩阵给我们提供了一个组织海量数据进行运算的最好方法，对上百万数据进行赋值、运算和绘图，只用了几行程序。线性代数的重要性之所以在近20年来可与微积分相妣美，这是一个重要原因。如果学线性代数而不涉及工程计算实践，那就无法真正体会线性代数的精髓所在。7.4 显示器色彩制式转换问题彩色显示器使用红(R)、绿(G)和蓝(B)光的叠成效应生成颜色。 显示器屏幕的内表面由微粒象素组成, 每个微粒
10、包括三个荧光点: 红、绿、蓝。 电子枪位于屏幕的后方, 向屏幕上每个点发射电子束。计算机从图形应用程序或扫描仪发出数字信号到电子枪, 这些信号控制电子枪设置的电压强度. 不同 RGB 的强度组合将产生不同的颜色. 电子枪由偏转电磁场帮助瞄准以确保快速精确地屏幕刷新。 图7-4 彩色显示器的工作原理颜色模型规定一些属性或原色, 将颜色分解成不同属性的数字化组合. 这就是色彩制式的转换问题。观察者在屏幕上实际看到的色彩要受色彩制式和屏幕上荧光点数量的影响。. 因此每家计算机屏幕制造商都必须在(R, G, B)数据和国际通行的CIE色彩标准之间进行转换, CIE标准使用三原色, 分别称为X, Y和Z
11、。 针对短余辉荧光点的一类典型转换是=.计算机程序把用CIE数据(X, Y, Z)表示的色彩信息流发送到屏幕，求屏幕上的电子枪将这些数据转换成(R, G, B)数据的方程。现在要根据CIE数据(X, Y, Z)计算对应的(R, G, B)数据, 就是等式Aa = b 中A和b 已知, 求a。如果A是可逆矩阵, 则由Aa = b可得a = A-1b. 解：在Matlab命令窗口输入以下命令A = 0.61,0.29,0.15;0.35,0.59,0.063;0.04,0.12,0.787; % B = inv(A), 程序执行的结果为：B = 2.2586 -1.0395 -0.3473 -1.
12、3495 2.3441 0.0696 0.0910 -0.3046 1.2777 可见将CIE数据(X, Y, Z)转换成(R, G, B)数据的方程为a =Bb 在彩色电视技术中，还有许多地方会用到线性变换.比如民用电视信号的发送并不直接采用(R, G, B)数据，而是使用向量(Y, I, Q)来描述每种颜色.其中Y称为亮度信号，I和Q为色差信号，这样的制式可以达到彩色和黑白的兼容.如果屏幕是黑白的, 则只用到了Y，这比CIE数据能提供更好的单色图象。YIQ与“标准”RGB色彩之间的对应如下=它的逆变换矩阵留给读者自行计算。7.5 人员流动问题某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人
13、数统计, 然后将熟练工支援其他生产部门, 其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工，假设第一年一月份统计的熟练工和非熟练工各占一半，求以后每年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比。设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为xn和yn, 记成向量. 因为第一年统计的熟练工和非熟练工各占一半, 所以=。为了求以后每年的熟练工和非熟练工所占百分比, 先求与的关系式。根据已知条件可得: xn+1 = (1-)xn +(xn + yn) =xn +yn,yn+1 = (1-)(xn + yn) =xn +yn,即= A= A2= = An. 将A对角化
14、成为可得到简明易算的结果：= 。键入命令P,D = eig(A)，得，于是便有：,当n不断增加时，分别趋向于0.8和0.2。7.6 二氧化碳分子结构的振动频率二氧化碳分子可看成中间一个碳原子，左右分别以弹簧（化学键）联接两个氧原子，构成一个三质量振动系统（见图7-5）。其方程为：图7-5 CO2分子振动结构设三个原子沿轴向的振动具有同样的频率，则代入上式后得到：写成矩阵形式为：振动的频率的平方就决定于这个系数矩阵的特征值，因为有三个特征值，要取其中的最大值。由此写出计算程序pla706，核心语句为： k=14.2e2, mo=16*1.6605e-27, mc=12*1.6605e-27,A=k/mo,-k/mo,0;-k/mc,2*k/mc,-k/mc;0,-k/mo,k/mo,x,y=eig(A), omega=sqrt(y)lamda=2*pi*3*108./max(max(omega)其运行结果如下。答案为：omega = 1.0e+014 图7-8 两自由度机械振动模型及lamda = 4.257951e-006 m 4.3m7.7 二自由度机械振动图7-9表示了一个由两个质量、两个弹簧和两个阻尼器构成的二自由度振动系统，今要求在给定初始位置和初始速度下的运动。解：设x1和x2分别表示两个质量关于它们平衡位置的偏移，则此二自由度振动系统的一般方程为： (7.10.1)
