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1、第16讲磁聚焦和磁发散【方法指导】磁聚焦磁发散电性相同的带电粒子平行射入圆形有界匀强 磁场，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子 从磁场边界上同一点射出，该点切线与入射 方向平行带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点 射入，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子 出射方向与入射点的切线方向平行* /x军X严共 t_城冬 x x 泠*卜x【例题精析】考点一磁聚焦问题例题1（2022温州二模）如图所示，直角坐标系中，y轴左侧有一半径为a的圆形匀强磁场区域，与y轴相切于A点，A点坐标为（0,禺3。）。第一象限内也存在着匀强磁场， 两区域磁场的磁感应强度大小均为B，方向垂直纸面向外。圆形磁场区域下方有两长度
2、 均为2a的金属极板M、N,两极板与x轴平行放置且右端与y轴齐平。现仅考虑纸面 平面内，在极板M的上表面均匀分布着相同的带电粒子，每个粒子的质量为m,电量 为+q。两极板加电压后，在板间产生的匀强电场使这些粒子从静止开始加速，并顺利从 网状极板N穿出，然后经过圆形磁场都从A点进入第一象限。其中部分粒子打在放置1于x轴的感光板CD 上,感光板的长度为2.8a,厚度不计，其左端C点坐标为（弘0）。 打到感光板上的粒子立即被吸收，从第一象限磁场射出的粒子不再重新回到磁场中。不 计粒子的重力和相互作用，忽略粒子与感光板碰撞的时间。（1）求两极板间的电压U；（2）在感光板上某区域内的同一位置会先后两次接
3、收到粒子，该区域称为“二度感光区”求： “二度感光区”的长度L； 打在“二度感光区”的粒子数ni与打在整个感光板上的粒子数n2的比值山：n2；（3）改变感光板材料，让它仅对垂直打来的粒子有反弹作用（不考虑打在感光板边缘C、D两点的粒子），且每次反弹后速度方向相反，大小变为原来的一半，则该粒子在磁场中 运动的总时间t和总路程s。q练习1如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，大量比荷为乂、 m速度大小范围为073%的粒子从PM和QK间平行于PM射入圆形磁场区域，PM与 圆心O在同一直线上，PM和QK间距离为0.5R,已知从M点射入的速度为v0的粒子 刚好从N点射出圆形磁场区域，
4、N点在O点正下方，不计粒子重力以及粒子间的相互 作用。求：(1) 圆形区域磁场的磁感应强度B及带电粒子电性；(2) 圆形区域内有粒子经过的面积；(3) 挡板CN、ND下方有磁感应强度为2B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，ND=R, 直线CD与圆形区域相切于N点，到达N点的粒子均能从板上小孔进入下方磁场，挡板 ND绕N点在纸面内顺时针旋转，ND板下表面上有粒子打到的区域长度l与板旋转角度 a (0WaV90 )之间的函数关系式。练习2如图所示，在xOy平面(纸面)内有一半径为R,以原点O为圆心的圆形匀强磁 场区域，磁场方向垂直纸面向里.磁场区域的正下方有一对平行于x轴的平行金属板A 和K,两板间
5、加有电压UAK (正负、大小均可调)，K板接地，与P点的距离为1,中间 开有宽度为21且关于y轴对称的小孔.一个宽为V3R、在y轴方向均匀分布、且关于x 轴对称的电子源，它持续不断地沿x正方向每秒发射出n0个速率均为v的电子，电子 经过磁场偏转后均从P点射出，穿过K板小孔达到A板的所有电子被收集且导出.已 知电子质量为m,电荷量为e,忽略电子间相互作用，不计电子的重力，求：（1）该匀强磁场的磁感应强度B的大小；（2）从电子源射出的电子经P点射出时与y轴负方向的夹角9的范围；（3 ）每秒从电子源射出的电子通过K板上小孔的电子数n及这些电子均能到达A板Uak 的范围。A考点二磁发散问题例题2（20
6、22宁波模拟）如图甲所示，在坐标系xOy的第一、二象限内存在一有界匀强磁场区域，两边界都为圆形，其中大圆半径R = 0.05m,圆心在y轴上的O“小圆半径 R2 = 0.03m,圆心在坐标原点O； M、N为两圆形边界的交点。小圆内存在辐向电场， 圆心与边界间的电压恒为U0 = 8OOV；在磁场右侧与x轴垂直放置一平行板电容器，其 左极板P中间开有一狭缝（如图乙所示），电容器两极板间电压为U （U的大小和极板 电性都未知）。在O点，存在一粒子源（图中未画出），可以在纸面内沿电场向各方向同 时均匀发射质量为m=8X 10-27kg、带电量为q=+8X 10- 19C的粒子(粒子初速度较小，可以忽略
7、)，经辐向电场加速后进入磁场，部分粒子能以水平向右 的速度从大圆边界的右侧离开磁场，已知粒子源每秒发射的粒子数为N0=1X1O2O个。不 计粒子的重力及粒子间的相互作用力，不考虑场的边界效应,整个装置处在真空环境中， sin37=0.6, cos37=0.8，求：(1) 带电粒子进入磁场时的速度大小V；(2) 带电粒子在磁场中的运动半径r以及匀强磁场的磁感应强度B；(3) 极板P上的狭缝刚好处在纸面位置，水平向右离开磁场的粒子，一部分会打在P极 板(狭缝上方、下方)，另一部分会通过狭缝进入电容器，粒子一旦接触极板，立刻被吸 收，但不会影响电容器的电压。试求在较长的一段时间内，带电粒子对电容器的
8、平均作 用力F的大小与极板电压的关系。(结果保留3位有效数字)0.02m0.06m练习3在科学研究中，常用电磁场来控制带电粒子的轨迹。如图所示，真空中有一半径为 r的圆形磁场区域，与x轴相切于坐标原点O,磁场磁感应强度为B,方向垂直于纸面 向外，在圆形感场区域的右侧有两水平放置的正对的平行金属板M、N,板间距离也为 r,板长为L,板间中心线O2O3的反向延长线恰好过磁场圆的圆心O,在O点处有一 粒子源，能向磁场中各个方向(纸面内)源源不断地发射速率相同、质量为m、比荷为 k且带正电的粒子，单位时间内发射的粒子数为n,沿y轴正方向射入磁场的粒子，恰 能沿直线O2O3的方向射入平行板间。不计重力、
9、阻力及粒子间的相互作用。(1) 求粒子入射的速度v0的大小。(2) 若已知两平行金属板间电场强度E=，在平行板的右端适当位置固定一平行厶2于y轴方向的探测板(图中未画出)，使从M、N板右端射出平行板间的粒子全部打在探 测板上，则板长至少为多少？(3) 在满足第(2)问的前提下，若打到探测板上的粒子被全部吸收，求粒子束对探测板 的平均作用力的大小。1丿VQK练习4如图甲所示，圆形区域内有一磁感应强度大小为B、垂直纸面向外的匀强磁场；紧 挨着竖直放置的两平行金属板，M板接地，中间有一狭缝。当有粒子通过狭缝时N板 有电势，且随时间变化的规律如图乙所示。在圆形磁场P处的粒子发射装置，以任意角射出质量m
10、、电荷量q、速率V。的粒子，在磁场中运动的轨迹半径与圆形磁场的半径正 好相等。从圆弧ab之间离开磁场的粒子均能打在竖直放置的N板上，粒子间的相互作(1)在磁场中运动的最短时间t；(2) 到达N板上动能的最大值Ekm；(3) 要保证到达N板上速度最大，MN间距离应满足的条件。【强化专练】1.如图所示为某种粒子偏转装置，在xOy平面的第二象限内有半径为R的圆形磁场区域， 磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向外。已知磁场区域的圆心为O,磁场边界与x 轴，y轴分别相切P、Q点。位于P处的粒子源均匀地向纸面内以相同速率发射质量为 m,电量为+q的相同带电粒子，且粒子初速度的方向被限定在PO；两侧夹角均为3
11、0 的范围内，第一象限内存在y轴负方向的匀强电场，沿着x轴在RWxW2R的区间范围 内放置粒子接收装置MN。已知沿PO；方向射入磁场的粒子恰好经过Q点射出，不计 粒子的重力和粒子间的相互作用：(1) 粒子源发射粒子的速率；(2) y轴上有粒子出射的区域范围；(3) 若要求粒子源发出的所有带电粒子均被接收装置接收，求匀强电场的取值范围。2.如图甲所示，在平面坐标系xOy,存在以(-1, 0)为圆心、半径为1、垂直于纸面向 里的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小B，在第一、四象限-lWyWl范围内存在沿x2轴负方向的匀强电场，y轴为电场左边界，电场右边界满足抛物线 = 2*。现有一群 质量为m、电荷
12、量为+q的粒子，从抛物线边界由静止释放后进入电场区域。已知从抛 物线上儿=2和y2 = -2处释放的粒子均能以最短的时间从坐标(-1，-1)处离开磁场。 不计粒子的重力和粒子间的相互作用。(1) 求从抛物线上儿=2和y2 = -2处释放的粒子在磁场中运动时间的比值；(2) 电场强度E的大小；(3) 若将右半圆磁场去掉(如图乙)，并调整左半圆磁场的磁感应强度的大小，使从抛物 线上y0区域进入电场的粒子第一次射出磁场的位置相同，求调整后磁感应强度的大小。3.竖直平面内有I、II两个区域的匀强磁场，方向均垂直纸面向外，两区域边界相切，如 图所示。I区域是半径为R的圆形边界磁场，磁感应强度大小为B；I
13、I区域是边长为 2R的正方形边界场，感应强度大小为2B。以圆形边界磁场最底端O为原点建立xOy 直角坐标系。一质量为m,电荷量为+q的粒子，由原点O沿与x轴正方向夹角60进 入I磁场区域，速度大小匕=警。粒子重力略不计，求：(1) 粒子运动到x轴时的位置;(2) 若II区域内磁场反向，则粒子再次经过y轴时的位置。4.5. 如图所示为某离子收集器装置的示意图，在xOy坐标平面内，半径为R的圆形匀强磁 场区域边界与y轴相切于坐标原点O,磁场方向垂直于坐标平面，一截面为矩形的电场 处理器AMNC与磁场相切于P点，AC边与y轴重合，其中AM=AC=2R, AC与MN 间存在沿x轴正方向的匀强电场，在M
14、N处放置有与MN等长的荧光屏。现有大量质量为m、电荷量为q的正离子，以相同速率v0各向均匀的从O点射入x0区域，其 中沿Ox方向射入的离子刚好经过P点，已知所有离子均能打到荧光屏上，形成的亮线 恰与M、N连线重合，不计离子重力及相互作用，求：(1) 匀强磁场的磁感应强度B大小和方向；(2) 电场处理器AMNC间的电场强度E的大小；(3) 若F为MN中点，荧光屏上MF间与FN间收集到的离子数目之比为多少。X.6. 如图所示，圆心为O、半径为R的圆形区域I内有磁感应强度大小为方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁场区域I右侧有一宽度也为R、足够长区域II,区域II内有方向 向右的匀强电场，区域II左右边界
15、CD、FG与电场垂直，区域I边界上过A点的切线 与电场线平行且与FG交于G点，FG右侧为方向向外、磁感应强度大小为B2的匀强磁 场区域III.在FG延长线上距G点为R处的M点放置一长为3R的荧光屏MN,荧光 屏与FG成6=53。角。在A点处有一个粒子源，能沿纸面向区域I内各个方向均匀地 发射大量质量为m、带电荷量为+q且速率相同的粒子，其中沿AO方向射入磁场的粒 子，恰能平行于电场方向进入区域II并垂直打在荧光屏上(不计粒子重力及其相互作用)(1) 求粒子的初速度大小v0和电场的电场强度大小E；(2) 求荧光屏上的发光区域长度x；(3) 若改变区域III中磁场的磁感应强度大小，要让所有粒子全部打中荧光屏，求区域III 中磁场的磁感应强度大小应满足的条件。
