g3.1060平面与空间直线

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1、第七章 直线、平面、简单几何体考试内容：9 (A).平面及其基本性质.平面图形直观图的画法.平行直线对应边分别平行的角异面直线所成的角异面直线的公垂 线异面直线的距离直线和平面平行的判定与性质 直线和平面垂直的判定与性质 点到平面 的距离斜线在平面上的射影 直线和平面所成的角 三垂线定理及其逆定理平行平面的判定与性质 平行平面间的距离 二面角及其平面角 两个平 面垂直的判定与性质多面体正多面体棱柱棱锥球9 (B).平面及其基本性质.平面图形直观图的画法. 平行直线直线和平面平行的判定与性质 直线和平面垂直的判定 三垂线定理及其 逆定理两个平面的位置关系空间向量及其加法、 减法与数乘 空间向量的

2、坐标表示 空间向量的数量 积直线的方向向量 异面直线所成的角 异面直线的公垂线 异面直线的距 离直线和平面垂直的性质 平面的法向量 点到平面的距离 直线和平面所 成的角向量在平面内的射影平行平面的判定和性质 平行平面间的距离 二面角及其平面角 两个平 面垂直的判定和性质多面体正多面体棱柱棱锥球考试要求9( A)( 1)掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面 图形的直观图 能够画出空间两条直线、 直线和平面的各种位置关系的图形 能 够根据图形想像它们的位置关系( 2)掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定量掌握两条直线所 成的角和距离的概念， 对于异面直线的距离， 只要求会计算已

3、给出公垂线时的 距离( 3)掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理掌握直线和平面垂直 的判定定理和性质定理 掌握斜线在平面上的射影、 直线和平面所成的角、 直 线和平面的距离的概念掌握三垂线定理及其逆定理( 4)掌握两个平面平行的判定定理和性质定理掌握二面角、二面角的 平面角、 两个平行平面间的距离的概念 掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理.(5 )会用反证法证明简单的问题.(6) 了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念.(7) 了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图.(8 )了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图.(9) 了解球的概念，掌握球的性质，掌握球

4、的表面积、体积公式.9 (B). (1)掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平 面图形的直观图；能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形， 能够根据图形想像它们的位置关系.(2) 掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直 的概念，掌握直线和平面垂直的判定定理；掌握三垂线定理及其逆定理.(3) 理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘.(4) 了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念，掌握空间向 量的坐标运算.(5) 掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间 向量数量积的公式；掌握空间两点间距离公式.(6 )理解直线的方

5、向向量、 平面的法向量、向量在平面内的射影等概念.(7)掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、 距离的概念.对 于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离.掌握直线和平面垂直的性质定理. 掌握两个平面平行、 垂直的判定定理和性质定理(8) 了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念.(9 )了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图.(10 )了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图.(11) 了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式.g3.1060平面与空间直线一.知识回顾： (一一)平面：1、 平面的两个特征：无限延展平的(

6、没有厚度)2、平面的画法：通常画平行四边形来表示平面3、平面的表示：(1 )用一个小写的希腊字母 八 等表示，如平面 八平面(2) 用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC(二)三公理三推论： 公理1:若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个 平面内.A丨，B丨，A三二,B ：=丨二二 公理2:如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些 公共点的集合是一条过这个公共点的直线。公理3:经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面推论一：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论三：经过两条平行

7、直线,有且只有一个平面.（三）空间直线:1. 空间两条直线的位置关系：（1）相交直线一一有且仅有一个公共点；（2）平行直线一一在同一平面内，没有公共点；（3）异面直线一一不同在任何一个平面内，没有公共点。 相交直线和平行直线也称为共面直线.异面直线的画法常用的有下列三种：2. 平行直线：在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间 也是成立的。即公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。3. 等角定理等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所 成的锐角（或直角）相等.

8、4. 异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过 此点的直线是异面直线推理模式：,a - a= ab与a是异面直线二基本训练：1. A、B、C表示不同的点，a、丨表示不同的直线，、表示不同的平面，下列推理不正确的是（ ）(A) A l,A : , B 丨，B 匚=丨二很(B) A ： ,A - , B ： ,B - - ：- - AB 直线(C) 丨二：,A 丨二 A :(D)代B,C，A,B,C且A,B,C不共线 二与重合选C2. 个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底边均 为 1 的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( )(A) (B)1 二(C

9、)1.2(D)2、.22 2 2选D3. 对于空间三条直线，有下列四个条件：三条直线两两相交且不共点；三条直线两两平行；三条直线共点；有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交.其中，使三条直线共面的充分条件有( )(A)1 个(b)2 个(c)3 个(D)4 个选B4. 空间内五个点中的任意三点都不共线，由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥，则这五个点最多可以确定 个平面.答案：7个.三.例题分析：例1.如图，在四边形 ABCD中，已知 AB/ CD,直线 AB, BC, AD DC分别与 平面a相交于点E,G, HF.求证：E,F,G,AH四点必定共线.解： AB/ CDb/d_ / cX

10、x _ AB, CD确定一个平面B .H./e F G/又.AB a = E, AB B , E a , E匕即E为平面a与B的一个公共点.同理可证F, G H均为平面a与B的公共点.两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线， E, F, G, H四点必定共线.说明：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理2,即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论.例2.已知：a, b, c, d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a, b, c, d共面.证明1 0若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a, b, c相交于一点A,但A d，如图1.

11、直线d和A确定一个平面a .aF, G图 1又设直线d与a,b, c分别相交于E，则 A，E,F, G A, Ea , A,E a, a 二 a .Kdabca图2同理可证 a, b, c, d在同一平面a内.2o当四条直线中任何三条都不共点时,如图2.这四条直线两两相交，则设相交直线a, b确定一个平面a .设直线c与a, b分别交于点H, K贝U H, K a .又 H , K c , C _ a .同理可证d a . a, b, c, d四条直线在同一平面 a内.说明：证明若干条线（或若干个点）共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论, 由题给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再根据

12、公理1证明其余的线（或点）均在这个平面内.本题最容易忽视“三线共点”这一种情况.因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义.例3.已知不共面的三条直线 a、b、c相交于点P , A a , B .a , C b , Dc, 求证：AD与BC是异面直线.号证一：（反证法）假设 AD和BC共面，所确定的平面为 斤，二苧7 那么点P、A、B、C、D都在平面a内，.直线a、b、卜都二 在平面a内，与已知条件a、b、c不共面矛盾，假设不成立， AD和BC是异面直线。证二：（直接证法） an c=P,.它们确定一个平面，设为 a ,由已知 C平面a , B平面a , AD平面a , B AD,a

13、AD和BC是异面直线四、作业同步练习 g3.1060平面与空间直线1.下列四个（1）分别在两个平面内的两条直线是异面直线(2) 和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条(3) 和两条异面直线都相交的两条直线必异面(4) 若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c也异面 其中真(A)3(B)2(C)1(D)02. 在正方体ABCD -abcd中，M、N分别是棱AA和AB的中点，P为上底面ABCD 的中心，贝U直线PB与MN所成的角为()0 0 0(A)30(B)45(C)60(D)3. AB CD在平面a内，AB/CD，且AB与CD相距28厘米，EF在平面a夕卜， EF/AB，且EF与AB相距

14、17厘米，EF与平面a相距15厘米，则 EF与CD的 距离为()(A)25厘米(B) 39厘米(C)25或39厘米 (D) 15厘米4. 已知直线a,如果直线b同时满足条件：a、b异面a、b所成的角为定 值a、b间的距离为定值，则这样的直线b有()(A)1条(B)2条(C)4条(D)无数条5. 已知异面直线a与b所成的角为500, P为空间一点，则过点 P与a、b所 成的角都是300的直线有且仅有()(A)1 条(B)2 条(C)3 条(D)4 条6 .在正三棱柱ABC-A.BQ中，若AB = 2BB，则AB,与GB所成的角的大小 .7.在棱长为a的正四面体中，相对两条棱间的距离为 .&两条异面直线a、b间的距离是1cm,它们所成的角为 600, a、b上各有一 点A、B ,距公垂线的垂足都是10cm ,贝U A、B两点间的距离为9 . 在三棱台 AEG - ABC中，侧棱 BB丄底面 ABC , 且 ABC n/AAC AB 二 2A Bj = 2cm .(1) 求证：BC AB , BC AA ,(2) 求异面直线a,a和BC的距离.10. 条长为2cm的线段AB夹在互相垂直的两个平面 : 一：之间，AB与:所成 角为45，与所成角