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1、排列组合例题讲解1例 1某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、 70 元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒 ，则不同的选购方式共有()(A) 5 种(B) 6 种(C) 7 种(D) 8种解法一记购买的软件数为x,磁盘数为y,依题意x,yZy x23,y三2-60x+70yW500当 x=3 时，y = 2, 3, 4；当 x=4 时，y=2, 3；当 x=5时，y=2；当x=6时，y=2.上述的不等式组共有7组 解，故不同的选购方式共有7种，选C.解法二 依题意，(x, y)是在坐标平面上，位于三条直线Lf x=3, L2：
2、y=2, L60x +70y=500 围成的三角形的边界及内部的点(坐标均为整数的点)，如图 721，这样的点 共有 7 个，故选 C.评述 这是一个计数的应用问题，解法一转化为求不等式组的整数解的个数；解法二转化求坐标平面上特定区域内的整点个数.事实上，两种解法最终都采用了穷举法.这是解决计数问题的基本方法之一.例2.在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植 一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法共有多少种？解法一如表格所示，用X表示种植作 物的地垄，O表示未种植作物的地垄，则不 同的选垄方法共有6种，由于A、B是两种 作物
3、，故不同的种植方法共有12种.解法二 选垄方法可分为三类：第一类 间隔为 6垄，有18， 29， 310三种选 法；第二类间隔为7垄，有19， 210两 种选法；第三类间隔为8垄，只有110种XOOOOOOXOOXOOOOOOOXOXOOOOOOOOXOXOOOOOOXOOXOOOOOOOXOOXOOOOOOX选法，故选垄方法共6 种，种植方法共12种评述 这是一个计数的应用问题，解法一采用了画框图的方法；解法二直接应用加法原 理和乘法原理若将例 1 和例 2 判定为排列与组合的问题，并布列含排列数或组合数的算式，反而会将 对问题的思考复杂化，难以得出正确的结论，由此可见，不应把计数问题都简单
4、归结为排列 和组合的问题，也不能只通过计算排列数或组合数求解例 3 7 人排成一行，分别求出符合下列要求的不同排法的种数(1)甲排中间；(2) 甲不排在两端；(3) 甲、乙相邻；(4) 甲在乙的左边(不一定相邻)；(5) 甲、乙、丙两两不相邻解：(1)甲排中间，其余6人任意排列，故共有p6 =720种不同排法.(2) 若甲排在左端或右端，各有种排法，故甲不排在两端共有P； - 2P6 =3600种不 同排法.(3) 法一：先由甲与除乙以外的 5 人(共 6 人)任意排列，再将乙排在甲的左侧或右侧(相 邻)，故共有p6 p 1 =1440种不同排法.62法二：先将甲、乙合成为一个“元素”，连同其
5、余5人共6个“元素”任意排列，再由甲、乙交换位置，故共有p6 p 1 =1440种不同排法.62(1)5 的倍数；(2)比 20300大的数；(3)不含数字 0，且1，2 不相邻的数解：(1)5的倍数可分为两类：个位数的位置上的数字是0或 5个位数字是 0 的五位数有 P4 个；5个位数字是5的五位数有4 P3个；4故5的倍数共有P4 +4P3 =216个54(2) 比 20300大的五位数可分为三类：第一类：3XXXX, 4XXXX, 5XXXX ；有 3 P 4 个；5第二类：21XXX, 23XXX, 24XXX, 25XXX，有 4 P3 个；4第三类：203XX, 204XX, 20
6、5XX，有 3P2个.3故比20300大的五位数共有3 P4 +4P3 +3 P2 =474个.543(3) 组成不含数字0，且1， 2不相邻的数可分为两步，第一步：将3， 4， 5三个数字排成一行；第二步：将1, 2插入第一步所形成四个“空”中的两个“空”故共有P3 P2 =72 34个.评述 这是一组组成无重复数字的多位数的排数问题，也是一类典型的排列问题，常见的附加条件是倍数关系，大小关系、相邻关系等.应当注意的是排队问题不会有元素重复的 问题，而排数问题必须规定无重复数字才是排列问题.例5 四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同取法共有 ()(A) 150种(B
7、) 147种(C) 144种(D) 141种分析 取出的四个点不共面的情况要比取出的四个点 共面的情况复杂，可采用间接法，先不加限制任取四 点，再减去四面共点的取法.解 在 10 个点中任取 4 点，有 C 4 种取法，取出10的 4 点共面有三类(如图 723).第一类：共四面体的某一个面，有4C 4种取法；6第二类：过四面体的一条棱上的三点及对棱的中点，如图中的平面ABE,有6种取法； 第三类：过四面体的四条棱的中点，面与另外两条棱平行，如图中的平面EFGM，共 有 3 个故取4个不共面的点的不同取法共有C 4 - (4C4 +6+3)=141(种)10 6因此选 D评述 由点组成直线、平
8、面、几何体等图形是一类典型的组合问题，常见的附加条件是 点共线与不共线，点共面与不共面，线共面与不共面等例 6 (1)设有编号为1， 2， 3， 4， 5 的五个球和编号为1， 2， 3， 4， 5 的五个盒子，现 将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒内放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的 编号相同，这样的投放方法的总数为;(2)四个不同的小球放入编号为1 ， 2， 3， 4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共 有种.解(1)第一步：投放2个球，使其编号与盒子编号相同，有C2种投法；第二步：投入其 余3个球，以第一步的投法是1， 2号球投入1， 2号盒子内为例，其余3个球由于不能再出 现球
9、号与盒号相同的投法，如框图所示有2种投法345345综上可知，符合题意的投放方法共有C2x2 = 20种.5(2)第一步：取出两个小球(C2种取法)合成一个“元素”，与另外两个球合成三个“元素” 第二步：将3个元素放入4个盒中的3个盒子，每个盒子放一个元素，形成一个空盒佇种 放法)，故符合题意的放法共有C2. P3 =144种.44评述 这是一组具有一定综合性的计数问题，应当注意，第(1)题如果判定第二步余下 3 球可任意放入余下3个盒子，列出C2 P3的算式，就会出错.53(4)在7人排成一行形成的P7种排法中，“甲左乙右”与“甲右乙左”的排法是对7应的(其余各人位置不变)，故甲在乙的左边的不同排法共有2P； =2520种不同解法.(5)先由除甲、乙、丙以外的4人排成一行，形成左、右及每两人之间的五个“空”，再将甲、乙、丙插入其中的三个“空”，每“空”1人，故共有P4 5 - P3 =1440种不同的排法.45评述 这是一组排队的应用问题，是一类典型的排列问题，附加的限制条件常是定位与 限位，相邻与不相邻，左右或前后等.例 4.用 0， 1， 2， 3， 4， 5 六个数字组成无重复数字的五位数，分别求出下列各类数 的个数：
