《轨迹方程的求法及典型例题含答案.》由会员分享，可在线阅读，更多相关《轨迹方程的求法及典型例题含答案.（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、轨迹方程的求法一、知识复习轨迹方程的求法常见的有（1)直接法;（2)定义法；（3）待定系数法（4)参数法（5）交轨法；(6)相关点法注意:求轨迹方程时注意去杂点，找漏点.一、知识复习例1:点P(-3，0）是圆x2+26x-55=内的定点,动圆M与已知圆相切，且过点P,求圆心M的轨迹方程。例2、如图所示，已知P(4，0）是圆x2+23内的一点,A、B是圆上两动点,且满足APB=90，求矩形ABQ的顶点Q的轨迹方程.解:设AB的中点为,坐标为(x,y)，则在AP中,|=|PR.又因为是弦AB的中点，依垂径定理：在RtOA中,|AR|2|AO|2|OR|2=36-（x2)又|AR=P|=所以有（x4
2、)22=36(x2+y2),即2+2-4x100因此点在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动设Q(x，),(x,y)，因为R是PQ的中点,所以x1=,代入方程2y24x10=0，得1整理得:x2+2=56,这就是所求的轨迹方程.例3、如图, 直线L1和L2相交于点,L1L, 点N L. 以, B为端点的曲线段C上的任一点到2的距离与到点N的距离相等. 若DMN为锐角三角形, |A= , |AN|= ，且|N6.建立适当的坐标系，求曲线段C的方程. 解法一:如图建立坐标系,以l1为轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点。依题意知：曲线段C是以点为焦点，以l2为准线的抛物线
3、的一段，其中A,分别为C的端点。设曲线段的方程为,其中xA,xB分别为A,B的横坐标,P=MN|。由,两式联立解得。再将其代入式并由p0解得因为N是锐角三角形,所以,故舍去p4,xA1由点B在曲线段C上，得。综上得曲线段C的方程为解法二:如图建立坐标系,分别以l1、l2为轴,M为坐标原点。作AEl1,ADl，Fl2垂足分别为、D、F设A（xA, y)、(xB, yB)、N(x, )依题意有例4、已知两点以及一条直线：y=x，设长为的线段A在直线上移动,求直线P和QB交点M的轨迹方程.解：A和QB的交点（x，)随、的移动而变化，故可设，则PA：Q:消去t，得当t=-2，或t=时,PA与QB的交点
4、坐标也满足上式,所以点M的轨迹方程是例5、设点A和B为抛物线 y2=4px(p0)上原点以外的两个动点，已知OAOB,OMB,求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线 解法一:设M(，y)，直线AB的方程为=kb由OMA，得k=-由y2=px及y=kx+，消去y，得k2x2+（2kb-4p)x+b20所以x1x=， y2=,由OAOB,得y1yx2所以=, b=4kp 故y=k+b=k(x-4p), 得x+y24p=0(x0)故动点M的轨迹方程为x2+y-4px=0(），它表示以(p，0)为圆心，以2为半径的圆，去掉坐标原点.|解法二:设A（x1,y),B（2，2),(x,y)依题意,有得(-y
5、2)(y1+y2)=4（xx2)若xx2,则有 ,得1y2=16p21x2 代入上式有y1y=-p代入，得 代入,得所以即x-12(y1+y2）-y12-y1y2 、代入上式,得x2+y2-4px()当x=时，Bx轴，易得M（p,0)仍满足方程故点M的轨迹方程为x2y-4px0（x)它表示以（2，0)为圆心,以2p为半径的圆，去掉坐标原点.轨 迹 方程（练习)1.（08、山东文)已知曲线：所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为,记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆.(1)求椭圆的标准方程;(2）设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线，是上异于椭圆中心的点.若（为坐标原点)，当点在椭圆
6、上运动时,求点的轨迹方程; 若是与椭圆的交点,求的面积的最小值解：()由题意得椭圆方程:=1(2)若AB所在的斜率存在且不为零,设AB所在直线方程为yx(k),()由设M(，y）,由M|=|OA|()|MO|2|OA|2因为是AB的垂直平分线,所以直线L的方程为k，代入上式有:,由,当k0或不存时,上式仍然成立.，综上所述,M的轨迹方程为，(0).当k存在且k0时,OA|由.,当且仅当+5k2=+42时,即=时等号成立.当；当不存在时，综上所述，的面积的最小值为2.（7、江西理2)设动点到点和的距离分别为和，且存在常数，使得.(1)证明:动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；(）过点作直线与双曲线
7、的右支于两点，试确定的范围，使0,其中点为坐标原点解:（1)在中，,即，,即（常数),点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线，方程为:()设,当垂直于轴时,的方程为，在双曲线上即,因为，所以.当不垂直于轴时,设的方程为.由得:,由题意知：,由，且在双曲线右支上，所以由知3（09、海南)已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是和1（1)求椭圆的方程；（2）若为椭圆上的动点，为过且垂直于轴的直线上的点,(e为椭圆的离心率），求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.解:（）设椭圆长半轴长及分别为a，c由已知得=4,c=3椭圆C的方程为.（2）设M（，)，P(，)其中
8、-4，,x.有由得:故【下面是寻找关系式=f(x,）,g(x，y）的过程】 又 式代入：并整理得:,所以点M的轨迹是两条平行于x轴的线段 轨 迹方程(练习)4(0、重庆理）已知以原点为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率,M是椭圆上的动点(1)若、的坐标分别是（0，)、(0,)，求的最大值； 1世纪教育网 （）如图,点的坐标为（1,0),点B是圆上的点，点N是点M(椭圆上的点）在轴上的射影，点满足条件:=+，.求线段QB的中点P的轨迹方程.解:(1)设椭圆方程为：（ab0).准线方程，=，椭圆方程为：所以:C、D是椭圆的两个焦点，当且仅当=，即点M的坐标为时上式取等号的最大值为(2）设，()，.
9、由+,由0（）()()()=记P点的坐标为(,)，因为是的中点, 动点P的方程为：5.(0、安徽)已知椭圆1（ab0)的离心率为.以原点为圆心,以椭圆短半轴长为半径的圆与直线+2相切.(1）求a与的值；(2)设该椭圆的左,右焦点分别为和，直线过且与轴垂直，动直线与y轴垂直,交于点p.求线段的垂直平分线与直线的交点M的轨迹方程,并指明曲线类型解:(1）e又圆心(0，0）到直线yx+2的距离=半径=，=2,3.(2)(-1,0)、（1,0）,由题意可设P（1,t)(t0).那么线段的中点为N（,).的方程为：=，设()是所求轨迹上的任意点. 【下面求直线N的方程，然后与直线的方程联立，求交点M的轨
10、迹方程】 直线的斜率k=,线段的中垂线MN的斜率-.所以：直线N的方程为：y=x.由，消去参数t得:,即:,其轨迹为抛物线(除原点） 又解:由于=（x，)，(x，-y)=0,，消参数得:（0）,其轨迹为抛物线(除原点）6(07湖南理2）已知双曲线的左、右焦点分别为,，过点的动直线与双曲线相交于两点【直接法求轨迹】（1）若动点满足（其中为坐标原点)，求点的轨迹方程；(2)在轴上是否存在定点，使为常数?若存在,求出点的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)由条件知，设,设，则,，,由的中点坐标为当不与轴垂直时，即.又因为两点在双曲线上,所以，,两式相减得，即将代入上式,化简得当与轴垂直时,，求得，也满足上述方程所以点的轨迹方程是.(2）假设在轴上存在定点,使为常数当不与轴垂直时，设直线的方程是.代入有则是上述方程的两个实根,所以，,于是.因为是与无关的常数,所以,即,此时=当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，此时（1,）(1,2）=1.故在轴上存在定点，使为常数
