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1、目录摘要2问题的重述2.1背景22.2问题2三问题的分析3五. 四建模过程4.1基本假设44.2定义符号说明44.3模型建立与求解44.4模型检验与分析6模型的评价与改进10参考文献11助学贷款问题一.摘要国家助学贷款是由政府主导、财政贴息、财政和高校共同给予银行一定风险补偿金，银行、教育行政部门与高校共同操作的专门帮助高校贫困家庭学生的银行贷款。本文就D题给出的在小杨应当采用哪种还款方式偿还贷款的金额最少问题进行研究，展开讨论、分析和建立数学模型，利用数学软件进行求解。对于两种还款方式选择，实际上他还有两种时间选择，一：小杨经过宽限期再开始还款；二：小杨一毕业第二年就开始还款。因此本文将对两
2、种还款方式分别进行两种讨论，建立出对应的模型，偿还贷款的金额最少时即为最优解，最后进行编程和求解。关键词：助学贷款还款方式还贷金额最优解二.问题的重述2.1背景国家助学贷款是党中央、国务院在社会主义市场经济条件下，利用金融手段完善我国普通高校资助政策体系，加大对普通高校贫困家庭学生资助力度所采取的一项重大措施。国家助学贷款是由政府主导、财政贴息、财政和高校共同给予银行一定风险补偿金，银行、教育行政部门与高校共同操作的专门帮助高校贫困家庭学生的银行贷款。借款学生不需要办理贷款担保或抵押，但需要承诺按期还款，并承担相关法律责任。借款学生通过学校向银行申请贷款，用于弥补在校学习期间学费、住宿费和生活
3、费的不足，毕业后分期偿还。2.2问题小杨是南华大学的一名2011级大一的新生，因为家境的原因决定申请助学贷款，大学期间需要借贷20000元。已知助学贷款的申请是一年之中最少申请1000元，最高不能超过6000元，借款期限最低为6年，最长为14年，可以在大学期间接连申请，在大学就读期间贷款所产生的利息由国家（或地区）支付，每年的12月20日为还款期，从毕业时的6月20号到次年的12月20日为宽限期，宽限期内只需自付利息，不需偿还本金。宽限期结束后次年的12月20日除自付利息外开始等额还本，贷款期限最后一年的12月20日要求全部还清。小杨2015年6月20号大学毕业，想在2020年将钱款全部还清。
4、小杨决定在大学期间每年6月20日申请助学贷款5000元，还款结止日期为2020年12月20日，现在有两种还款方式供选择。1、申请生源地助学贷款，即每年等额还款，直到期限为至贷款还清。2、申请国家助学贷款，即每次偿还当年产生的利息后并且等额还本。请用数学建模的方法分析，小杨应当采用哪种还款方式他偿还贷款的金额最少？附：贷款利率表（调整时间：2011.7.7）箕茅:利率C年利率%六个月以内C含六个月6.10六个月至一年t合一年6.56一至三年C含三年5.65=李芍年C含洛迂、6.90五年以上7.05三问题的分析由题意可知，目的就是为了建立数学模型，找出偿还贷款的金额最少时的最优解。这是一个优化问题
5、，这就是说在不同的约束条件下，只要建模合理，答案可以是多种。建立优化问题的模型最主要的是用数学符号和式子表述决策变量、构造目标函数和确定约束条件。对于等额本息还款方式和等额本金还款方式，我们根据货币等值原理，分别建立了与之对应的模型，然后根据题中所给的数据，分别求解出两种方式的还款额，并得到最优解。四. 建模过程4.1模型假设1.小杨在大四毕业的时候找到一份稳定的工作并且有经济能力以任何一种方式偿还贷款。2. 贷款利率都按小杨进校时第一笔贷款利率计算3. 小杨有还款的意愿4.2定义符号说明Kx-一每年等额还款额。P-贷款本金。Rx-年利率。Ax-一宽限期所付利息。Tx选择此种方式最终需还本利总
6、和。Nx-一贷款年限。B-月薪负担率。角标11贷款方式1还款方式1。角标12贷款方式1还款方式2。角标21贷款方式2还款方式1o角标22贷款方式2还款方式2o4.3模型建立与求解小杨有两种贷款方式选择：1:申请生源地助学贷款，即每年等额还款，直到期限为至贷款还清。2:申请国家助学贷款，即每次偿还当年产生的利息后并且等额还本。实际上他还有两种还款时间选择：1:小杨经过宽限期再开始还款。2:小杨一毕业第二年就开始还款。等额本息还款法模型的建立小杨选择申请生源地助学贷款，即每年等额还款，直到期限为至贷款还清。根据定义其计算公式可表示为：PX(1+R)NKX(1+R)N-1KX(1+R)N-2KX(1
7、+R)N-3一K=0模型的讨论小杨选择过了宽限期才开始还款2015年6月20日小杨毕业，宽限期截止到2016年12月20日，此阶段他只需自付利息，A11=PX(R)十2+PX(R)。算得An=20000X0.0705十2+20000X0.0705=2250(元)。2017年：PX(1+R)K11。2018年：(PX(1+R)K11)X(1+R)-K1102019年:(PX(1+R)K11)X(1+R)KnX(1+R)K11o2020年：(PX(1+R)K11)X(1+R)K11X(1+R)K11X(1+R)K1按照小杨原定目标2020年12月20日他应该是还清了最后一笔钱，此时他欠款为零。即(
8、PX(1+R)K11)X(1+R)K11X(1+R)K11X(1+R)K11=0解得Kn=5911.23(元)所以小杨若选择(申请生源地助学贷款，即每年等额还款，直到期限为至贷款还清)这种方式他将为此支付Tn=K11+A11=5911.23X4+2250=25894.92(元)。小杨选择毕业第二年就开始还款半年宽限期需要支付：A12=20000X0.0705-2=705(元)按照计算公式：PX(1+R)(5)K12X(1+R)(4)K12X(1+R)(3)K12X(1+R)(2)K12X(1+R)1K12=0解得K12=4884.35(元)他需要一共支付T12=K12+A12=4884.35X
9、5+705=25126.73(元)。等额本金还款法模型的建立小杨选择申请国家助学贷款，即每次偿还当年产生的利息后并且等额还本。根据定义小杨每年等额因还K=P-N(元)模型的讨论小杨选择过了宽限期再还款2015年6月20日小杨毕业,宽限期截止到2016年12月20日，此阶段他只需自付利息，A21=PX(R)十2+PX(R).计算得A21=20000X0.0705-2+20000X0.0705=2250(元)2017年：PXR+K21=6410。2018年：（PK21）XR+K21=6057.5。2019年：（P2K21）XR+K21=5705。2020年：（P3K21）XR+K21=5352.5
10、。其中K21=20000-4=5000（元）所以他为此必须偿还本息为各年总和：T21=PXR+K21+（PK21）xR+K21+（P2K21）XR+K21+（P3K21）XR+K21+2250=25775（元）小杨选择毕业第二年就开始还款宽限期利息A=PX（R）十2=705（元）K22=20000-5=4000（元）2016年：PXR+K22=5410。2017 年：（PK22）XR+K22=5128（元）。2018 年：（P2K22）XR+K22=4846（元）。2019 年：（P3K22）XR+K22=4564（元）。2020 年：（P4K22）XR+K22=4282（元）。所以他为此必须
11、偿还本息为各年总和T22=PXR+K22+（PK22）XR+K22+（P2K22）XR+K22+（P3K22）XR+K22+（P4K22）XR+K22+705=24935（元）4.4模型的分析与检验建立模型时，我们避轻就重，做出了一系列的假设，当然现实生活中，这些假设肯定是不会同时发生的，这就是我们模型的误差主要来源。模型分析之所以小杨若想要偿还贷款金额最少应该选择毕业第二年就开始还款这是应为宽限期内的本金基数高需要偿还利息多，所以小杨应该选择尽早还款。根据毕业大学生在衡阳本地就业收入情况毕业大学生月薪收入在200030000元，将以上计算T值转换成每月负担费用丫。其中丫1仁K11-12丫21
12、丫22=492.6（元）2017年：534（元）2016年：450.8（元）2018年：504.8（元）2017年:427.3（元）2019年:475.4（元）2018年:403.8（元）Y12=K12-122020年：446（元）2019年:380.3（元）=407（元）2020年:356.8（元）引入符号B:月薪负担率。则B11：16.42%24.63%。B12:13.57%20.53%。2017 B21：2017年：17.8%26.7%年：16.8%25.24%年：15.85%23.77%年：14.87%22.3%B22：2016年：15.03%22.54%年：14.24%21.365%
13、年：13.46%20.19%年：12.68%19.0%年：11.9%17.84%由以上分析可知虽然小杨选择贷款方式2还款方式2即越早开始偿还当年产生的利息后并且等额还本所支付本金利息最少，但这就意味着他工作一开始就必须承担15.03%22.54%的月工资负担，而且这是建立在小杨一毕业就能找到一份200030000元月薪的工作，随着高校扩招步伐加快，大学生就业群体的逐年增加就业压力越来越大，没有工作经验的应届大学生找工作难的问题日益突出，对于小杨而言如果他在毕业前以签得一分好的工作那么贷款方式2还款方式2是最佳选择，若这份工作暂时收入低而后期职位晋升月薪会有所提高，小杨可以考虑贷款方式2还款方式
14、1,这是应为两者比较T21-T22=840(元)小杨没有必要为了这840(元)在工作一开始就承担较大的月薪负担，但综合考虑贷款方式1还款方式2也是不错的选择两者比较Ti2-T22=191.73(兀)而且月薪负担一直保持在13.57%20.53%这要求小杨在毕业前根据自己实际情况合理选择还款模式不要盲目认为本利偿还金额最少的就是最好的。误差分析：本模型的主要误差来源于，对小杨一毕业就还款问题的解释，因为为方便计算令小杨在过了半年的宽限期再还款，对于这个问题可作如下说明，、假若小杨一毕业就开始还款也就是说在2015年12月20日偿还第一笔钱，对于刚毕业的小杨这是一笔5000元左右的负债，在理想情况
15、下他六月份开始工作，至12月前后不过5个月，按衡阳本地大学生最高月薪3000元计算他将每月面临5000-(3000X5)X100%=33.3%的月薪负担。计算小杨从2015年12月20日偿还贷款根据公式：PX(1+R)NKX(1+R)N-1KX(1+R)N-2KX(1+R)N-3K=0所以有20000X1.0705A6-KX1.0705A5-KX1.0705A4-KX1.0705A3-KX1.0705A2-KX1.0705A1-K=0解得K=4202.4T12=KX6=25214.36计算T22此时K22=20000-6=3333.333.2015年：PXR十2+K22=4038.333。2016 年：（PK22）XR+K22=4508.333（元）。2017 年：（P2K22）XR+K22=4273.333（元）。2018 年：（P3K22）XR+K22=4038.333（元）。2019 年：（P4K22）
