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1、我所认识的应力与应变的关系机械与动力工程学院我所认识的本构关系可以从三个不同的受力条件下进行分析，第一是在弹性变形下的应 力与应变的关系，第二是在屈服条件下的应力与应变的关系，第三是在塑性条件下的应力与 应变的关系，而对应力与应变的关系的研究也可以归结为对本构关系的研究。首先，弹塑性力学分别从静力学和几何学的角度出发，导出了平衡方程的和几何方程 这些方程均与物体的材料性质（物理性质）无关，因而适用于任何连续介质。但仅仅依靠平 衡方程和几何方程来解决实际中的工程问题是不够的。由于平衡方程仅建立了力学参数（应 力分量与外力分量）之间的联系，而几何方程也仅建立了运动学参数（位移分量与应变分量） 之间
2、的关系，所以平衡方程与几何方程式两类完全相互独立的方程，他们之间还缺乏必要的 联系。对于所求解的问题来讲，因为您未知量的数目多于任何一类方程的个数，所以无法利 用这两类方程求的全部未知量。1）2）平衡方程：doSt(d 2U )x +xy +xz + X = 0dxdydzI dt 2 丿dtdcdt(d 2v )yx + Y = 0PdxdydzydyyzdydzdwdudwsY+zdzzxdzdx 一为了求解具体的力学问题，还必须引进一些关系式，这些关系式即所谓的本构关系。本 构关系反映可变形体材料的固有特此那个，故也称为物理关系，它实际上是一组联系力学参 数和运动学参数的方程式，即所谓的
3、本构方程。本构方程实际上就是一组反映可变形体材料 应力和应变之间关系的方程。在单向应力状态下，理想弹性材料的应力和应变之间的关系极其简单。这就是在材料力 学中寻出的如下形式的胡克定律：c = Es（3）xx胡克定律是一个实验定律，在式（1.1）中的E是材料性质有关的弹性常数, 称为弹性模量和杨氏模量。在三维应力状态下，描绘一点处的应力状态需要 9 个应力分量，相应的三维 应力状态下，应力与应变之间仍然有类似式（ 1.1）的线性一一对应关系存在， 则称这类弹性体为线性弹性体。对线弹性体，可以把单向应力状态下的胡克定律推广到三维应力状态。推广得到的式子形式形式为a =cs+ c s+ c s+ c
4、 Y+ c y + c yx11 x12 y13 z14 xy15 yz16 zxa =cs+ c s+ c s+ c y+ c y+ c yy21 x22 y23 z24 xy25 yz26 zxa =cs+ c s+ c s+ c y+ c y+ c y(9)2 2c = X0 + 2卩833式中：入，口称为l ame弹性常数 在任意的坐标系里，本构方程可以表示为如下的一般的形式，c = 10 + 28 T = PY 、1 1xyxyc =10 + 2卩8 T = PY ( 10)2 2yzyzc = 10 + 2 卩8 T = PY3 3zxzx或者简写为c = 185 + 2卩8 =
5、105 + 2卩8(11)ij ij ij ij ij工程中常把各向同性弹性体的本构方程写成如下形式：)丫 =丄 Txy G xy8 = U vC +CxExyz8 = U V(U +U 9yEyxz) 11Y = Tyz G yz12)8 =丄 U VxEz或简写成8 =+u 8(13)ij E ij E kk ij式中：E , u, G分别为弹性模量，泊松比和剪切弹性模量，在三个参数之间， 实际上独立的常数只有两个他们之间有如下的关系E2(1 +)(14)Lame常数入口与工程弹性系数EC1 2U0 = 8 +8 +8 =U +U +Ux y z E x y， u， G 之间的关系可利用上
6、述公式求得)=3(1 - 2)uz E m15 )E3(1 2)则式可改写成U0 = jm(16)式反映了体积应变与平均应力之间的关系，称为体积应变的胡克定律， K 称为体 积模量。将式的(15)带入(16)得到17 )(18)8ij比较式(17)得到.E、(1+)( 2) p=G=Wl)此外，弹性体受外力作用后，不可避免的要产生变形，同时外力的势能也 要产生变化。根据热力学观点，外力所做的功，一部分将转化为弹性体的动能， 一部分将转化成内能。假设弹性体的变形过程是绝热的，也就说变形过程中没有 热量的得失。同时假设载荷施加的足够慢，弹性体随时处于平衡状态，而且动能 变化可以忽略。则根据热力学第
7、一定律，外力在变形过程中所做的功全部转化为 内能储存在弹性体内部。这种贮存在弹性体内部的能量是因变形而获得的，故称 之为弹性变形能或弹性应变能。定义函数u0Gij)，使之满足dU (s )/ 、-j =G(19)dsiij称为格林公式。函数u0Gij)表示单位体积的弹性应变能，故称之为弹性应变 能密度函数。简称为应变能。假如函数u0Gij )的具体函数形式能够确定的话，那 么弹性体的应力应变关系也就完全确定了。这表明，弹性应变能密度函数是弹性 材料本构关系的另一种表达形式。以上讨论的都是弹性体在弹性阶段内所满足的关系。根据变形的特点，固体 在受力过程中的力学行为可分成两个明显不同的阶段：当外力
8、小于某一限值(通 常称之为弹性极限荷载)时，在引起变形的外力卸载后固体能完全恢复原来的形 状，这种能恢复的变形成为弹性变形，固体只产生弹性变形的阶段成为弹性阶段； 外力一旦超过弹性极限荷载，这时再卸除载荷，固体也不能恢复原状，其中有部 分不能消失的变形被保留下来，这种保留下来的永久变形就成为塑性变形，这一 阶段成为塑性阶段。在弹性阶段，应力和应变之间存在一一对应的单值函数关系， 而且还假设是线性关系；在塑性阶段，应力和应变之间通常不存在一一对应的关 系，而且通常还是非线性关系(这种非线性成为物理非线性)。下面我们通过简单拉伸试验，以及常温静载下的一条典型应力应变曲线来 讨论弹性体的屈服阶段。如
9、图所示(1) 随着载荷的增加，在变形的最初阶段直到A点之前，应力。和应变成直 线关系 g= Es(20)式中：E二tan a为直线的斜率，即弹性模量。由于在变形超过A点之后，应力。和应变成线性关系，所以与A点相应的应力称为材料的比例极限并用b表p示1) 当载荷继续增加，变形增长比在A之前稍大，但在未超过B之前，如果 卸除载荷，变形是可以恢复的。所以OB段仅有弹性变形，与B点相应的应力称 为材料的弹性极限，并用。表示。e2) 继续加载达到 C 点后，变形增长开始变快。如果是软钢材料制成，那么 曲线上将会有一个明显的平缓段，即出现应力保持不变而应变可以有很大增长的 现象，这种现象称为材料屈服，相应的应力称为屈服极限，并用。表示。但如s 果材料是高强度合金钢或者铝合金等材料制成，曲线上就没有明显的屈服段。曲线上。=。的点就是初始弹性阶段的界限，超过此极限以后材料就进入塑性阶段 s
