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1、一元一次不等式的解法知识点精讲-答案解析【学习目标】1理解并掌握一元一次不等式的概念及性质；2. 能够熟练解一元一次不等式；3. 掌握不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.【要点梳理】要点一、一元一次不等式的概念只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式要点诠释：(1)一元一次不等式满足的条件：左右两边都是整式(单项式或多项式)；只含有一个未知数；未知数的最高次数为1.(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号
2、“”、“”、“”或“”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“”连接，等号没有方向要点二、一元一次不等式的解法1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式2.一元一次不等式的解法：与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为（或）的形式（其中）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.要点诠释：（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用（2）解不等式应注意：去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；移项时不要忘记
3、变号；去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；在不等式两边都乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变要点三、不等式的解及解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集要点诠释：不等式的解是具体的未知数的值，不是一个范围不等式的解集是一个集合，是一个范围其含义：解集中的每一个数值都能使不等式成立；能够使不等式成立的所有数值都在解集中3.不等式的解集的表示方法（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示如：不等式x
4、-26的解集为x8(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解如图所示：要点诠释：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言，xa或xa向右画；对边界点a而言，xa或xa向左画 注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点【基础典型例题】类型一、一元一次不等式的概念1下列式子中，是一元一次不等式的有哪些? (1)3x+50 (2)2x+35
5、(3) (4)2 (5)2x+y8【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断，(1)是等式；(4)不等式的左边不是整式；(5)含有两个未知数【答案与解析】解：(2)、(3)是一元一次不等式【总结升华】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：不等式的左右两边分母不含未知数；不等式中只含一个未知数；未知数的最高次数是1，三个条件缺一不可 类型二、解一元一次不等式2.解不等式：，并把解集在数轴上表示出来 【思路点拨】解不等式时去括号法则与解一元一次方程的去括号法则是一样的【答案与解析】解：去括号，得：移项、合并同类项，得：系数化1得：这个不等式的解集在数轴上表示如图：【总结升华】在不等式的两边同乘以(或
6、除以)负数时，必须改变不等号的方向举一反三：【变式】不等式2(x+1)3x+1的解集在数轴上表示出来应为( ).【答案】C.3.（2019巴中）解不等式：，并把解集表示在数轴上【思路点拨】先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为1即可【答案与解析】解：去分母得，4（2x1）3（3x+2）12，去括号得，8x49x+612，移项得，8x9x612+4，合并同类项得，x2，把x的系数化为1得，x2在数轴上表示为：【总结升华】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键去分母时，不要漏乘不含分母的项举一反三：【变式】若,问x取何值时，【答案】解：, 若，则
7、有即 当时，4.关于x的不等式2x-a-1的解集为x-1，则a的值是_【思路点拨】首先把a作为已知数求出不等式的解集，然后根据不等式的解集为x-1即可得到关于a的方程，解方程即可求解【答案】【解析】由已知得：，由，得【总结升华】解不等式要依据不等式的基本性质，注意移项要改变符号举一反三：【变式1】如果关于x的不等式(a+1)xa+1的解集是xl，则a的取值范围是_【答案】.【变式2】（2019春西城区校级期中）求不等式的非正整数解【答案】解：6+3（x+1）122（x+7）6+3x+3122x143x+2x1214635x11所以非正整数解为0，1，2类型三、不等式的解及解集5.对于不等式4x
8、+7(x-2)8不是它的解的是( ).A5 B4 C3 D2【思路点拨】根据不等式解的定义作答【答案】D【解析】解：当x5时，4x+7(x-2)418，当x4时，4x+7(x-2)308，当x3时，4x+7(x-2)198，当x2时，4x+7(x-2)8故知x2不是原不等式的解【总结升华】不等式的解的定义与方程的解的定义是类似的，其判定方法是相同的6.不等式x1在数轴上表示正确的是 ( ).【思路点拨】根据不等式的解集在数轴上表示出来的方法画数轴即可【答案】C【解析】解：不等式x1在数轴上表示为:故选C【总结升华】用数轴表示解集时，应注意两点：一是“边界点”，如果边界点包含于解集，则用实心圆点
9、；二是“方向”，相对于边界而言，大于向右，小于向左，同时还应善于逆向思维，通过读数轴写出对应不等式的解集举一反三：【变式】如图，在数轴上表示的解集对应的是( )A2x4B.2x4 C.2x4 D.2x4【答案】B.【提高类型】类型一、一元一次不等式的概念1下列式子哪些是一元一次不等式？哪些不是一元一次不等式？为什么？（1） （2） （3） （4） （5）【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断【答案与解析】解：(1)是一元一次不等式（2）（3）(4)(5)不是一元一次不等式，因为：（2）中分母中含有字母，（3）未知数的最高次数不是1次，（4）不等式左边含有两个未知数，（5）不是不等式，是一元一
10、次方程【总结升华】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：不等式的左右两边分母不含未知数；不等式中只含一个未知数；未知数的最高次数是1，三个条件缺一不可 类型二、解一元一次不等式2.（2019春扬中市校级期末）求不等式的非负整数解，并把它的解在数轴上表示出来【思路点拨】首先应对不等式的左右代数式化简，使得分子、分母上的小数化成整数，然后根据不等式的性质2去掉分母等进行求解不等式，再在解集中求出符合条件的非负整数【答案与解析】解：原不等式可化为：去分母，得6（4x10）15（5x）10（32x）去括号，得24x6075+15x3020x移项，得24x+15x+20x30+60+75合并同类项，得5
11、9x165把系数化为1，得，解集的非负整数解是：0，1，2，数轴表示是：【总结升华】本题主要考查了不等式的解法，求出解集是解答本题的关键，解不等式应根据不等式的基本性质举一反三：【变式1】解不等式：【答案】解：去括号，得移项、合并同类项得：系数化1，得故原不等式的解集是.【变式2】（2019春黄冈校级期末）代数式的值不大于的值，求x的范围【答案】解：根据题意得：解不等式，去分母得：63（3x1）2（12x），去括号得：69x+324x，移项得：4x9x263，合并同类项得：5x7，解得：3.m为何值时，关于x的方程：的解大于1？【思路点拨】从概念出发，解出方程（用m表示x），然后解不等式【答案
12、与解析】解： x-12m+2=6x-15m+3 5x=3m-1 由 解得m2【总结升华】此题亦可用x表示m，然后根据x的范围运用不等式基本性质推导出m的范围举一反三：【变式】已知关于方程的解是非负数，是正整数，则_【答案】1或2.4.已知关于的方程组的解满足，求的取值范围【思路点拨】先解出方程组再解不等式【答案与解析】解：由，解得：解得的取值范围为.【总结升华】有时根据具体问题，可以不必解出的具体值类型二、不等式的解及解集5.若关于的不等式只有三个正整数解，求的取值范围. 【思路点拨】首先根据题意确定三个正整数解，然后再确定a的范围 【答案】.【解析】解：不等式只有三个正整数解，三个正整数解为
13、：1，2，3，【总结升华】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，做此题的关键是确定好三个正整数解6.如图所示，图中阴影部分表示x的取值范围，则下列表示中正确的是( ).A-3x2 B-3x2 C-3x2 D-3x2【思路点拨】x表示-3右边的数，即大于-3，并且是2以及2左边的数，即小于或等于2的数【答案】B.【解析】解： A、因为-3x2，在数轴上-3的点应该是实心的圆点；C、因为-3x2，在数轴上-3和2的点应该都是实心的圆点；D、因为-3x2，在数轴上-3和2的点应该都是空心的圆点；故选B【总结升华】不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；，向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集有几个就要几个在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示举一反三：【变式】 (江苏盐城)根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为_【答案】4. 提示：由程序图可知，计算求值时所使用的数学表达式为把x1输入求值，若求得的结果大于0，则直接得到输出值y；若求得的结果小于0，则需要把得到的结果作为输入值再代入计算，循环往复，直到使最终的结果大于0为止类型四、逆用不等式的解集7
