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1、 线性代数(同济第5版)复习要点以矩阵为工具，以线性方程组问题为主线第一章 行列式基本结论1行列式的性质（1） 互换行列式的两行，行列式变号.（2） 行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.（3） 把行列式的某一行的各元素乘以同一数然后加到另一行对应的元素上去，行列式不变.2行列式按行（按列）展开定理3 行列式等于它的任一行的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即3克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式不等于零，即那末，线性方程组有唯一的解主要计算计算行列式：1数字行列式化为上三角形； 2计算有规律的n阶行列式.例1（例7）计算行列式 2（例8）计算行列式 第二章 矩阵与其运
2、算基本概念注意：1矩阵可乘条件、乘法规则2. 矩阵乘法不满足交换律3矩阵乘法有零因子出现：，但却有4消去律不成立：，推不出基本结论1转置(i)(ii)(iii)(iv)2方阵的行列式(i) （行列式性质1）；(ii) ;(iii)3的伴随矩阵4逆矩阵推论 若（或），则方阵的逆阵满足下述运算规律：（i）若可逆，则亦可逆，且. （ii）若可逆，数，则可逆，且（iii）若为同阶方阵且均可逆，则亦可逆，且 （iv）若可逆，则亦可逆，且基本计算用上面基本结论进行简单计算主要计算求：公式法基本证明用上面基本结论进行简单证明例1. （例11）求矩阵的逆矩阵第三章 矩阵的初等变换与线性方程组基本结论线性方程组
3、解的判定：1.元非齐次线性方程组有解.有解时，（记）（1）时，有唯一解（2）时，有无穷多解2齐次线性方程组 （是的特殊情形）由于永远满足，故总有解（至少有零解）从而（1）时，有唯一零解（2）时，有（无穷多）非零解基本计算1会求矩阵的秩2会用矩阵的秩判别线性方程组有没有解，有解时，有多少解3会用初等变换求矩阵的逆 初等变换；(包括求矩阵方程，用；主要计算1 设非齐次线性方程组，试问此线性方程组有解吗？若有解，有多少解？ 2 会用初等变换求矩阵的逆例1（例5）设求矩阵的秩，并求的一个最高阶非零子式2用初等变换求矩阵的逆矩阵3（例13）设有线性方程组问取何值时，此方程组（1）有唯一解；（2）无解；（
4、3）有无限多个解？并在有无限多解时求其通解第四章 向量组的线性相关性基本概念1向量组的线性相关性向量的线性组合、线性表示、向量组的线性相关与线性无关向量组的等价2向量组的秩极大线性无关组、向量组的秩3向量空间向量空间的基的定义、基的求法、向量空间的维数、维数的求法向量组所生成的向量空间为4线性方程组解的结构齐次线性方程组基础解系、非齐次线性方程组解的结构基本结论1线性表出 定理1 向量能由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩定理2 向量组能由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩. 即.推论 向量组与向量组等价的充分必要条件是定理3 设向量组能由向量组线性表示，则.2
5、 向量组的线性相关性定理4 向量组线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵秩小于向量个数；向量组线性无关的充分必要条件是定理5 （1）若向量组线性相关，则向量组也线性相关 （2） 个维向量组成的向量组，当维数小于向量个数时一定线性相关（3） 设向量组线性无关，而向量组线性相关，则向量必能由向量组线性表示，且表示式是唯一的3向量组的秩定理6 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩推论 （最大无关组的等价定义）设向量组是向量组的部分组，若向量组线性无关，且向量组能由向量组线性表示，则向量组是向量组的一个最大无关组4解的结构（1）齐次线性方程组性质1 若为的解， 则也是的解性质2 若为的
6、解，为实数，则也是的解的基础解系：，通解是定理7 设矩阵的秩，则元齐次线性方程组的解集的秩.（2）非齐次线性方程组性质3 设与都是的解，则为导出组的解性质4 设是方程的解，是方程的解，则仍是方程的解的通解是：5向量空间向量组所生成的向量空间为基本计算1. 一般地，要判别一个向量是否可由向量组线性表出？设按分量形式写出来就是 （*）定理可由向量组线性表出（*）有解2. 一般地，要判别一个向量组是否线性相关？ 设按分量写出来就是 （*）定理 向量组线性相关齐次线性方程组（*）有非零解3. 基和维数的求法4线性方程组解的结构（1）齐次线性方程组基础解系（2）非齐次线性方程组解的结构的求法主要计算1设
7、矩阵，求矩阵的列向量组的一个最大无关组，并把不属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示2设非齐次线性方程组，试问（1）此线性方程组有解吗？若有解，有多少解？（第三章容）（2）若有无穷多解，求其通解（要求通过它的导出组的基础解系给出的通解）.（第四章容）基本证明向量的线性相关与线性无关、向量的组的等价、极大线性无关组、向量组的秩的证明向量空间的基、维数的证明基础解系、解的结构的证明主要证明1线性无关的证明2的列是的解例1（例11）设矩阵求矩阵的列向量组的一个最大无关组，并把不属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示2（例16）设非齐次线性方程组，试问（1）此线性方程组有解吗？若有解，有多少解？（
8、2）若有无穷多解，求其通解（要求通过它的导出组的基础解系给出的通解）.3（例6） 已知向量组线性无关，, , ，试证向量组线性无关（第五章 1 定理1、2 定理2）4（例13）设，证明：.第五章 相似矩阵与二次型基本概念一积积的定义：向量的长度：、当时，称为单位向量向量的夹角：向量的正交：时，称向量与正交正交向量组、正交基、规正交基正交矩阵：二矩阵的特征值、特征向量特征值、特征向量三相似矩阵，对称阵的对角化四二次型与其标准形，正定二次型，正定矩阵基本结论一积（i）；（ii）（iii）1非负性：对任意都有 ; 当且仅当时, 2齐次性: ;3三角不等式：定理1 若维向量是一组两两正交的非零向量，则线性无关二特征值、特征向量定理2 设是方阵的个特征值，依次是与之对应的特征向量如果各不一样，则线性无关三相似矩阵，对称阵的对角化四二次型与其标准形，正定二次型，正定矩阵基本计算1向量的长度：2向量的夹角的求法：3正交化方法：设线性无关4单位化：5特征值的求法、特征向量的求法6对称阵的对角化方法7求正交变换化二次型为标准形例1（例2） 设，试用施密特正交化过程把这组向量规正交化。2（例7）求矩阵的特征值和特征向量3（例12）设求一个正交阵P，使P-1AP=L为对角阵4（例14）求一个正交变换x=Py，把二次型化为标准形5（例17）判定二次型的正定性 /
