博弈论“囚徒困境”的四种形式

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1、博弈论中的“囚徒困境”摘要：“囚徒困境”模型是博弈论中的经典范例，它是1950年Tucker提出的，其完全信息下的静态博弈为广大博弈论的工作者和初学者所掌握，成为解释生活现象的有力 工具。其实“囚徒困境” 模型随着博弈论的深入发展，具有各种不同的形式，通常 分为： 完全信息的静态博弈，完全信息的动态博弈，不完全信息的静态博弈及不完 全信息的动态博弈四种形式。本文将对“囚徒困境”的这四种形式作一个简单的介 绍和分析。关键词：博弈论 囚徒困境 经济一、完全信息静态“ 囚徒困境 ” 博弈完全信息静态“囚徒困境”博弈部分地奠定了非合作博弈论的理论基础。它的基本模型是：警察抓住了两个合伙犯罪的罪犯，由于

2、缺乏足够的证据指证他们的罪 行，所以希望这两人中至少有一人供认犯罪，就能确认罪名成立。为此警察将这两个罪犯分 别关押以防止他们串供，并告诉他们警方的政策是“坦白从宽， 抗拒从严”：如果两人中只 有一人坦白认罪， 则坦白者立即释放， 而另一人则将重判 5 年徒刑；如果两个同时坦白 认罪，则他们将各判 3 年监禁。当然罪犯知道如果他们两人都拒不认罪，则警方只能以较 轻的妨碍公务罪判处他们 1 年徒刑。用矩阵表示两个罪犯的得益如下（得益向量的第一个数字是囚徒1 的得益，第二个数字 是囚徒 2 的得益） ：囚徒2坦白不坦白坦白(-3，-3)(0, -5)不坦白(-5, 0)(-1 ， -1 )（表1）

3、假定两个罪犯熟悉彼此，这便是一个同时行动的完全信息静态博弈。容易看出，由于对 于每个囚徒而言，无论对方选择什么策略，坦白都是自己的最优策略，所以（坦白，坦白） 是 博弈的 Nash 均衡。二、完全信息动态“囚徒困境”博弈重复“囚徒困境”博弈研究重复博弈的意义在于基本博弈会重复进行，比如犯罪团伙会被警方多次审讯，日常 生活中买卖会重复进行，国际间的战争此伏彼起。而且人们也发现基本博弈的重复进行并非 基本博弈的简单累加，比如商业中的回头客问题。下面继续以表1 所示的“囚徒困境”模型为例对多重博弈进行探讨。首先观察“囚徒困 境”的有限博弈，以 T 记基本博弈的重复次数。博弈重复进行所耗时间会比较长，

4、支付的 时间价值必须考虑，记r为折现因子。在有限博弈的情况下，可简化在r = l的情况下讨论， 并采用动态博弈的逆向归纳法进行研究：先分析t = T阶段两博弈方的选择，这仍然是一个基本的囚徒困境博弈，此时前一阶段 的结果已成为事实，又无后续阶段，因此不难得出结论， 这一阶段的结果是（坦白，坦白）， 双方得益（ -3 ， -3）。现在回到 t = T -1阶段，理性的博弈方对于后一阶段的结局非常清楚， 其结果必然是（坦白，坦白），因此不管现阶段的博弈结果是什么，双方在本阶段以后的最终 得益都是在本阶段得益的基础上各加上-3，此时的得益矩阵是：囚徒2坦白不坦白坦白（-6 ， -6）（-3，-8 ）

5、不坦白（-8，-3 ）（-4，-4 ）表 2 ）容易看出，坦白仍是两博弈方的严格优超策略，即（坦白，坦白） 是 T - 1阶段的唯一的 纯 Nash 均衡。 以此往上类推，每阶段“囚徒困境”博弈的结果都是博弈双方采用坦白， 所以T次重复博弈的子博弈精炼Nash均衡是每个博弈阶段双方都采用坦白。再考虑“囚徒困境”博弈重复无数次。 因为无限博弈没有最终阶段，所以不能运用逆 向归纳法求解。考虑博弈双方都采用“冷酷战略”：（ 1 ） 开始阶段选择抵赖；（ 2 ）选择抵赖 直到有一方选择了坦白，为了报复对手的背叛，以后都选择坦白。假定囚徒 j 严格执行上 述冷酷战略，考察囚徒 i 的最优策略是否为冷酷战

6、略：如果 i 在博弈的某个阶段首先选择 了坦白，他在该阶段得到0，而不是-1，但他的这次背叛会遭到囚徒 j 的永远惩罚，因此 i 在随后每个阶段的支付都是-3 。如果下列条件满足， 给定 j 没有选择坦白， i 将不会选择 坦白：3r10+r（-3）+r2（3） + -l+r（-l）+r2（-l） + ，即:-1/3,子博 弈精炼均衡是每个阶段博弈双方都采用抵赖进行合作。三、不完全信息静态“囚徒困境”博弈由于现实生活中许多博弈并不满足完全信息的要求，比如买卖双方都对彼此的信息掌握 不完全，买者不知卖者产品的质量到底如何，卖者也不知道买者愿意付出多高的价格等等， 因此研究不完全信息下的博弈有着重

7、要的理论和现实意义。假定囚徒 1 有两种类型，理性的(或称为不合作的)和非理性的(有意愿合作的)，概率分 别为1-p和P,又假定囚徒2只有一种类型一一理性的。假定理性的囚徒可以选择任意的策 略，而非理性的囚徒1 只有一种策略“针锋相对”，即开始阶段选择抵赖，随后的阶段以对 方前一阶段的策略为自己现阶段的策略进行鼓恸或报复。由于博弈只进行一个同合,博弈双方没有合作可能,于是理性的囚徒 1 的最优策略是 “坦白”理性的囚徒2也会选择“坦白”，因为对于一次博弈而言，不管囚徒l理性与否， 坦白的策略总是对囚徒 2 最优的，构成不完全信息静态博弈的 BayesNash 均衡。我们还可以按如下方法证明：由

8、于博弈只进行一个阶段，则非理性的因徙1 选择抵赖， 理性的囚徒1选择坦白，记囚徒2的选择为X,博弈路径如下所示：t=1非理性囚徒1(p)抵赖理性囚徒1(1-p)坦白囚徒2X(表 3)当X= “抵赖”时，囚徒2的期望支付是：4p-5； 当乂=坦白时，囚徒2的期望支付是3p-3。无论p为何值，3p-34 p -5,故坦白是囚徒2的最优选择。四、不完全信息动态“囚徒困境 ”博弈理论上在完全信息的情况下 T 次重复的“囚徒困境”博弈在每阶段博弈都选择“坦 白”是两个囚徒的最优战略， 然而这一结果并没有在现实生活中发生，我们常常看到屡次 作案的犯罪团伙总是般抵赖妄图逃脱法律的惩罚。国外实验经济学家作试验

9、也表明，在有限 次重复博弈中合作行为也频繁出现，因此需要将不完全信息引入重复博弈。首先讨论“囚徙困境”博弈只 重复两次的情况。在第二阶段，由于没有合作的空间，理 性的因徒1 和囚徒2都会选择坦白，而非理性的囚徒1 根据“针锋相对”策略要选择囚徒2 第一阶段的策略；在第一阶段，非理性的囚徒1 选择抵赖，理性的囚徒1 仍会选择坦白，因 为它在该阶段的选择不会改变囚徒2在第二阶段选择坦白。现在考虑囚徒2在第一阶段的选 择(X)如何影响非理性困徒1在第二阶段的选择，如下表所示：t=1t=2非理性囚徒1(p)抵赖X理性囚徒1(1-p)坦白坦白囚徒2X坦白表 4)当X= “抵赖”时，囚徒2的期望支付是：p

10、(-1 )+ 0+ (1-P ) ( -5 ) + ( -3 ) = 7p-8;当 X=“坦白”时，囚徒 2 此时的期望支付是:p0+ (-3)+ (1-p )(-3)+(-3)=3p-6。如果 7p-823p-6, 即P21 / 2,囚徒2将会选择X= “抵赖”；P 21/2的条件下，进一步考虑基本膊弈重复三次的情况。在第三阶段理性的囚徒1 和囚徒2会因为没有后续的合作机会选择坦白；在第二阶段，由于理性的囚徒l知道囚徒2 是理性的，自己在本阶段的选择不会改变囚徒2在下一阶段的选择，故仍会选择坦白。下面 要说明理性囚徒1在第一阶段将会选择抵赖进行合作：尽管囚徒1第一阶段选择坦白可能免 于惩罚，

11、但无疑向囚徒2显示自已是理性的博弈方，于是因徒2在第二阶段选择坦白，理性 的囚徒1在第二阶段最大只能获得(-3)的支付；相反如果隐藏自己的真实情况，选择抵赖， 那么可能在第一阶段获得( -1 )的支付，第二阶段获得0的支付，无疑这将更为有利，所以理 性的徒1的三阶段策略是(抵赖，坦白，坦白)。就理性的囚徒1和2而言，第一阶段有合作的可能(双方都选“抵赖”)，也有不合作的 可能(因徒1选择“抵赖”，囚徒2选择坦白)。先看双方都选择“抵赖”的情形，那么博弈进入第二和第三阶段，即随后的阶段是表4 所示的两阶段博弈，所以在给定P21/2的条件下，囚徙2第二阶段选择抵赖，三次重复博 弈的精练 Bayes

12、 均衡如下表所：t=1t=2t=3非理性囚徒1(p)抵赖抵赖抵赖理性囚徒1(1-p)抵赖坦白坦白囚徒2抵赖抵赖坦白表5)囚徒2选择(抵赖，抵赖，坦白)的期望支付为： (-1) +p(-1)+0 + (1-p)(-5)+(-3)=7p-9。 再看双方不合作的情况，在不合作的情形下，囚徒2的策略有两种可能： (坦白，坦白 坦白)和(坦白，抵赖，坦白)。如果囚徒2选择(坦白，坦白，坦白)，博弈路径如下所：t=1t=2t=3非理性囚徒1(p)抵赖坦白坦白理性囚徒1(1-p)抵赖坦白坦白囚徒2坦白坦白坦白(表 6)囚徒2的期望支付为： 0+(-3) +(-3)=-6；如果囚徒2选择(坦白，抵赖，坦白)，

13、博弈路径如下所:t=1t=2t=3非理性囚徒1（p）抵赖坦白抵赖理性囚徒1（1-p）抵赖坦白坦白囚徒2坦白抵赖坦白表 7 ）囚徒2的期望支付为：0+（-5） +p（0）+ （1-p）（-3）=3p-8。在P21/2的条件下7p-92-6, 7p-923p-8,因此（抵赖，抵赖，坦白）优于（坦白，坦白， 坦白）和（坦白，抵赖，坦白）。综合以上分析，只要囚徒1是非理性的慨率P21/2，表5所示的战略就是一个精炼 Bayes均衡。类似可以进一步证明，如果p三1 / 2，对于T 3,下列战略组合构成一个精炼 Bayes均衡：理性囚徒1在t = 1至t =T-2阶段一直选择抵赖，在余下的两阶段选择坦白；

14、 囚徒2在t=l至t= T-1阶段选择抵赖，最后一阶段选择坦白。我们清楚地看到，将不完全信息引入有限次“囚徒困境”复博能很好地解释现实的社会 现象为什么有那么多的囚徒宁愿选择抵赖而不是选择优超策略坦白。至于“囚徒困境”的不完全信息下的无数重复博弈的情况，我们应该容易得出：在相当 宽松的条件下，每阶段选择合作是精炼Bayes均衡。五、“囚徒困境”实例（1）经济学例子：关税战两个国家，在关税上可以有以两个选择：提高关税，以保护自己的商品背叛；与对 方达成关税协定，降低关税以利各自商品流通合作。 当一国因某些因素不遵守关税协 定，独自提高关税（背叛），另一国也会作出同样反应（亦背叛），这就引发了关税战，两 国的商品失去了对方的市场，对本身经济也造成损害（共同背叛的结果）。然后二国又重新 达成关税协定。（重复博弈的结果是将发现共同合作利益最大）（2）商业例子：广告战两个公司互相竞争，二公司的广告互相影响，即一公司的广告较被顾客接受则会夺取对 方的部分收入。但若二者同时期发出质量类似的广告，收入增加很少但成本增加。但若不提 高广告质量，生意又会被对方夺走。此二公司可以有二选择：互相达成协议，减少广告的开 支合作；增加广告开支，设法提升广告的质量