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1、ll / m立体几何学问点整理（文科）m l / m一 直线和平面的三种位置关系：l1. 线面平行方法二：用面面平行实现。l/l / l 符号表示：2. 线面相交llA 方法三：用平面法向量实现。符号表示：3. 线在面内 nl若 n 为平 面 的 一个法 向量，n l 且 l ,则 l / 。 l 符号表示：二 平行关系：1. 线线平行：l方法一：用线面平行实现。l /l l / mm3. 面面平行：方法一：用线线平行实现。l / l l mlmmm/l ,mm且相交/方法二：用面面平行实现。l , m且相交l /l l / m m m方法二：用线面平行实现。方法三：用线面垂直实现。l /若l
2、 ,m ，则 l / m 。m / /方法四：用向量方法：l ,m且相交lm若向量 l 和向量 m 共线且 l、m 不重合，则l / m 。2. 线面平行：方法一：用线线平行实现。1 / 11lACB方法三：用向量方法：若向量 l 和向量 m 的数量积为 0，则 l m 。三垂直关系：三 夹角问题。4. 线面垂直：(一)异 面直线所成的角：方法一：用线线垂直实现。 (1) 范围： (0 ,90 l AClABABABACAC,Al(2)求法：方法一：定义法。步骤 1：平移，使它们相交，找到夹角。PnA O方法二：用面面垂直实现。步骤 2：解三角形求出角。 (常用到余弦定理 ) 余弦定理：lm
3、la cml m, lcos2a2b2abc2b (计算结果可能是其补角 )5. 面面垂直：方法二：向量法。转化为向量方法一：用线面垂直实现。C的夹角 ll( ) 计算结果可能是其补角 ：lA B AB ACAB ACcos方法二：计算所成二面角为直角。(二)线面角6. 线线垂直：(1) 定义：直线 l 上任取一点 P（交点除外） ，作方法一：用线面垂直实现。mllml mPO 于 O,连结 AO ，则 AO 为斜线 PA 在面 内的射影， PAO (图中 )为直线 l 及面 所成的角。P方法二：三垂线定理及其逆定理。POPA OA Oll OA l PAl(2) 范围： 0 ,90 2 /
4、11 0 l l /当 时， 或当 90 时， ln1n2(3)求法：方法一：定义法。步骤 1：作出线面角，并证明。步骤 2：解三角形，求出线面角。步骤一：计算cosn n1 2n n1 2n n1 2(三)二 面角及其平面角步骤二：推断 及n n 的关系，可能相等或1 2(1)定义：在棱 l 上取一点 P，两个半平面内分别作者互补。l 的垂线（射线） m、n，则射线 m 和 n 的夹角 为四 距离问题。二面角 l 的平面角。 1点面距。方法一：几何法。m Pl PnA O(2)范围： 0 ,180 步骤 1：过点 P 作 PO 于 O，线段 PO 即为所求。步骤 2：计算线段 PO 的长度。
5、 (干脆解三角形；等(3)求法：体积法和等面积法；换点法 )方法一：定义法。 2线面距、面面距均可转化为点面距。步骤 1：作出二面角的平面角 (三垂线定理 )，并证明。 3异面直线之间的距离步骤 2：解三角形，求出二面角的平面角。方法一：转化为线面距离。方法二：截面法。m步骤 1：如图，若平面 POA 同时垂直于平面 和 ，n则交线 (射线 )AP 和 AO 的夹角就是二面角。如图， m 和 n 为两条异面直线， n 且步骤 2：解三角形，求出二面角。m / ，则异面直线 m 和 n 之间的距离可转化为直 P线 m 及平面 之间的距离。 A方法二：干脆计算公垂线段的长度。O方法三：公式法。 方
6、法三：坐标法 (计算结果可能及二面角互补 )。3 / 11如图， AD 是异面直线 m 和 n 的公垂线段， B a A md nm/ m ，则异面直线 m 和 n 之间的距离为： cCmDbd c2 a b ab2 22cos五 空间向量(一)空 间向量基本定理AA1CDC1若向量 a,b, c 为空间中不共面的三个向量，则对空间中随意一个向量 p ，都存在唯一的有序实数对BB1x、y、z，使得 p xa yb zc 。(二) 三点共线，四点共面问题7. A，B，C 三点共线OA xOB yOC，且 x y 1当1x y 时， A 是线段 BC 的2A，B，C 三点共线 AB AC8. A，
7、B，C，D 四点共面OA xOB yOC zOD，且 x y z 1当1x y z 时，A 是BCD的3A，B，C，D 四点共面 AB xAC yAD(三)空间向量的坐标运算2. 已知空间中 A、B 两点的坐标分别为：A(x , y ,z ) ， B( x2 ,y2, z2 ) 则：1 1 1AB ; dA,B AB3. 若空间中的向量 a ( x1 ,y1, z1) ， ( 2 , y , z )b x2 2则 a b a b4 / 11a b cos a b六常见几何体的特征及运算(一)长方体9. 长方体的对角线相等且相互平分。10. 若长方体的一条对角线及相邻的三条棱所成的角分别为 、
8、、 ，则2 2 2cos + cos + cos若长方体的一条对角线及相邻的三个面所成的角分别为 、 、 ，则2 2 2cos + cos + cos11. 若长方体的长宽高分别为 a、b、c，则体对角线长为 ，表面积为 ，体积为 。(二)正棱锥：底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。(三)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。(四)正多面体：每个面有相同边数的正多边形，且每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。(只有五种正多面体 )(五)棱 锥的性质： 平行于底面的的截面及底面相像， 且面积比等于顶点到截面的距离及棱锥的高的平方比。正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。(六)体积
9、： V棱柱V棱锥(七)球4. 定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。5. 设球半径为 R，小圆的半径为 r，小圆圆心为 O1，球心 O 到小圆的距离为 d，则它们三者之间的数量关系是 。6. 球面距离：经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。7. 球的表面积公式： 体积公式：高考题典例考点 1 点到平面的距离5 / 11例 1 如图，正三棱柱ABC A B C 的全部棱长都为 2 ，D 为1 1 1CC 中点1（）求证：AB 平面1A BD ；（）求二面角1A A D B 的大小；1（）求点 C 到平面A BD 的距离1解答过程 （）取 BC 中点 O ，连结 AO ABC 为正
10、三角形， AO BC 正三棱柱 ABC A1 B1C1 中，平面 ABC 平面BCC B ，1 1AA1AO平面BCC B 连结1 1BO，在正方形1BB C C 中，O，D 分 别 为1 1FB C， C C1的中点，B OBD ，1AB BD1OCDC1在正方形ABB A 中，1 1AB A B，1 1AB 平面1A BD 1BB1（）设AB 及1AB 交于点 G ，在平面1ABD 中，作1GF AD 于 F ， 连 结1AF ，由（）得AB 平面1ABD 1AF A D ， AFG 为二面角1A A D B的平面角1在 中，由等面积法可求得 4 5AADAF ，15又1AG AB ， s
11、in 2 102AGAFG12AF 4 5 4 5所以二面角A A D B 的大小为 arcsin 1014（） 中，A BD1， ， ， 1 BD A1D 5 A1 B 2 2 S A BD 6 SBCD1在正三棱柱中，A 到平面1BCC B 的距离为 3 1 1设点 C 到平面A BD 的距离为 d 1由V V ，得 A BCD C A BD1 11 1S 3 S d BCD A BD3 31，d3S 2BCDSA BD12点C 到平面ABD 的距离为 212考点 2 异面直线的距离例 2 已知三棱锥 S ABC ，底面是边长为 4 2 的正三角形，棱SC 的长为 2，且垂直于底面 . E、D 分别为 BC、AB的中点，求6 / 11CD 及 SE 间的距离 .解答过程 ： 如图所示，取 BD 的中点 F，连结 EF ，SF，CF ，EF 为 BCD 的中位线， EF CD, CD 面 SEF , CD 到平面 SEF 的距离即为两异面直线间的距离.又 线面之间的距离可转化为线 CD 上一点 C 到平面 SEF的距离，设其为 h，由题意知， BC 4 2,D、E、F 分别是 AB 、BC 、BD 的中点，CD12 6, EF CD 6, DF 2, SC 22VS CEF1312EFDFSC13126222 3 32 CE2在 Rt SCE 中， SE SC 2
