不定方程应用论文：例谈不定方程的应用

《不定方程应用论文：例谈不定方程的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《不定方程应用论文：例谈不定方程的应用（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、不定方程应用论文：例谈不定方程的应用未知数的个数不少于2的方程称为不定方程.形如 ax+ by=c(ab工0)的方程称为二元一次不定方程，是最基础的不定方程.当ax+by=c中a,b,c 乙且(a,b)=1时，只要知道 方程的一个整数解x=x0 , y=y0 ,则其所有整数解可用公 式 x=x0+bt , y=y0-at , (t z)表示出来.不定方程应用广泛，解题技巧灵活，现举例说明如下.1 应用不定方程解工程问题例1师徒两人加工一批机器零件，师傅每天加工7个，徒弟每天加工4个，师徒二人至少各加工多少天后，师傅才 比徒弟多加工2个机器零件？解 设师傅加工x天，徒弟加工y天，依题意，得7x-

2、4y=2，贝 y=7x-24.由此可知7x-2是4的倍数.令 7x-2=4k,得 7x=2(2k-1).可知x 一定是偶数，且最小值为2.当x=2时，y=3，符合题目要求.故至少师傅加工2天，徒弟加工3天后师傅比 徒弟正好多加工2个机器零件.例2甲、乙、丙三个工人加工一批零件，已知零件总数的五分之一是甲加工的，七分之几是乙加工的，而丙加工了219个，这一批零件共有多少个？解设零件总数为y个，乙加工的零件数是零件总数的x7 ,则丙加工的零件是零件总数的1-15-x7=28-5x35.又丙加工了 219个零件，所以 28-5x35y=219,从而有 y=219X 3528 -5x.由于y是整数，只

3、能取 x=5，则y=2555.故这一批零件共有 2555个.2 应用不定方程解数的组成问题例3有一个两位数，加上 54以后，十位数字和个位数 字正好互换位置，求这个两位数解设这个两位数的十位数字与个位数字分别为x，y.由题意，得 10x+y+54=10y+x(0 vx 9,0 vy 9).整理化简，得y-x=6,解得 x=1 , y=7 或 x=2, y=8 或 x=3, y=9 三组解.故知所求的两位数为 17, 28或39.例4甲、乙二人做同一个数的带余除法， 甲将其除以8, 乙将其除以9,甲所得的商数与乙所得的余数之和为13,求甲所得的余数.解设甲所得的商和余数分别为a和b,乙所得的商和

4、余数分别为c和d，依题意，得 8a+b=9c+d，且a+d=13.由 a+d=13,得 d=13-a.代入 8a+b=9c+d ,得 8a+b=9c+(13-a),即 9(a-c)=13-b.从而知13-b是9的倍数，由于b是被8除的余数，只能在0至7之间取值，所以b=4.故知甲所得的余数为 4.3 应用不定方程解几何问题例5有一个长宽不等且均为整数的长方形水池，该水池的面积和周长数值恰好相等，求它的两条边各有多少米.解 设该长方形的边长分别是x米和y米，则长方形的周长为2(x+y)，面积为xy.依题意，得 2(x+y)=xy，贝U x=2yy-2=2+4y-2.因为x和y都是正整数，所以(y

5、-2)是4的正约数.因此(y-2)只能取1, 2或4三个数值.当 y-2=1 时，y=3, x=6;当 y-2=2 时，y=4, x=4;当 y-2=4 时，y=6, x=3.已知这个长方形相邻两条边是不相等的，所以它的两条边的长度分别是6米和3米.4 应用不定方程解年龄问题例6 一名同学的生日的月份乘以 31,日期乘以12,加 起来的和正好是170，他出生于何月何日？解设该同学生于x月y日.依题意，得 31x+12y=170.因为12y和170都是偶数，所以x必是偶数.又因为x 和y都是正数，因此0v xv 6,所以x只能取2或4,而170 不是 4 的倍数，故 x=2，于是 12y=170- 31 X 2=108, y=9.可知这名同学生于2月9日.例7某人2010年时的年龄恰好等于他出生那一年的年 号的各个数字之和，他出生在哪一年？解 依题意，可设他出生于19xy 年，则 2010-19xy =1+9+x+y.化简得 11x+2y=100，变形为 y=100-11x2.又因为 0Wx9,0 y9,且 x,y z,所以只能取x=8，得y=6.故知此人生于1986年.